§3.09 周期信号的傅里叶变换

北邮信号与系统 考研学习经典复习资料!

§3.9 周期信号的傅里叶变换

北京邮电大学电子工程学院 2003.1

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第

主要内容正弦信号的傅里叶变换 正弦信号的傅里叶变换 一般周期信号的傅里叶变换 一般周期信号的傅里叶变换 如何由 0(ω)求F(nω1) 如何由F 如何由 求 单位冲激序列的傅氏变换 单位冲激序列的傅氏变换 周期矩形脉冲序列的傅氏变换 周期矩形脉冲序列的傅氏变换

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X

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第

引言周期信号: 周期信号:f (t ) 傅里叶级数 F(nω1 ) 离散谱

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非周期信号: 非周期信号:f (t ) 傅里叶变换 F(ω) 连续谱

周期信号的傅里叶变换如何求? 周期信号的傅里叶变换如何求? 与傅里叶级数的关系? 与傅里叶级数的关系?周期 f (t ) 统一的分析方法: 叶变换 统一的分析方法:傅里 非周期 X

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第

一.正弦信号的傅里叶变换由欧拉公式1 jω0t cosω0t = e + ejω0t 2 1 jω0t jω0t sinω0t = e e 2j

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(

) )

(

已知 由频移性质1 e

1 2 δ (ω) πjω 0 t

1 ejω0 t 2πδ(ω + ω0 )1 π π ∴cosω0t [2 δ (ω ω0 ) + 2 δ (ω +ω0 )] =π δ (ω +ω0 ) +π δ (ω ω0 ) 2

2πδ(ω ω0 )

同理

sinω0t jπ δ (ω ω0 ) + jπ δ (ω +ω0 )

X

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频谱图cosω0t π[δ (ω +ω0 ) + δ (ω ω0 )] cosω0t 频谱图 ∞ :(π )F(ω) ∞

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(π )ω

sinω0t jπ δ (ω ω0 ) + jπ δ (ω +ω0 ) sinω0t 频谱图 :F(ω)∞

ω0

O

ω0

(π )

∞

(ω)

(π )ω ω0 o π 2

π2

ω0

ω0 o

ω0

ω

X

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二.一般周期信号的傅里叶变换ω1 ∞ 由傅里叶级数的指数形式出发: 由傅里叶级数的指数形式出发: fT (t ) = ∑F(nω1 )e jnω t1

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: 设信号周期 T1 =

2 π

n=∞

其傅氏变换(用定义 其傅氏变换 用定义) 用定义FT (ω) = F[ fT (t )] ∞ ∞ = F ∑F(nω1 )ejnω1t = ∑F(nω1 )F ejnω1t ∞ ∞

[

]

π = ∑F(nω1 ) 2 δ (ω nω1 )∞

∞

π = 2 ∑F(nω1 ) δ (ω nω1 )∞

∞

X

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几点认识FT (ω ) = 2 ∑F(nω1 ) δ (ω nω1 ) π∞ ∞

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(1)

fT(t )的频谱由冲激序列组成 ; 位置:ω = nω1

(谐波频率 )

π 强度: 2 F(nω1 ) 与F(nω1 )成正比, 离散谱

(2) 谱线的幅度不是有限值, 因为F(ω)表示的是频谱密度. 表示的是频谱密度. F ω , 周期信号的 (ω)只存在于 = nω1处, ∞ 频率范围无限小幅度为 .X

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三.如何由F0 (ω)求F(nω1 )f0 (t )fT (t )

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F f F 即单个脉冲的 0 (ω)与周期信号T (t )的谱系数 (nω1 )的关系

T 2

o

T 2

t

TT 2 T 2

o

T

t

设 f0 (t ) F0 (ω) F0 (ω) = ∫ f0 (t )ejωt d t∞ fT (t ) = ∑F(nω1 )ejnω1t n=∞ 1 T F(nω ) = 2 fT (t )ejnω1t d t 1 ∫T T1 2

(1)

(2)X

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F0 (ω) = ∫

T 2 T 2

f0 (t )ejωt d t

(1)

比较式(1),(2) 比较式

∞ fT (t ) = ∑F(nω1 )ejnω1t n=∞ T F(nω ) = 1 2 f (t )ejnω1t d t (2) 1 ∫T T T1 2 ω nω1

f0 (t )

fT (t )

1 T T F 在 , 内f0 (t )与fT (t )相同所以 (nω1 ) = F0 (ω)

ω = nω1 T1 2 2 F 可由 0 (ω)求周期函数 fT (t ) 的谱系数F(nω1 ) X

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四.周期单位冲激序列的傅里叶变换δT (t ) =

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n=∞

∑δ (t nT )1

∞

∞

∞

∞∞ ∞

δT (t )

L (1) (1) (1) (1) (1) L 2T T1 o 1 T 2T1 1

因为 δ (t ) 1

t

1 F 所以 δT (t )的傅氏级数谱系数 (nω1 ) = T1所以 δT (t ) =n=∞

F(nω1 )ejnω1t ∑

∞

1 ∞ jnω1t = ∑e T n=∞ 1X

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频谱1 F(ω) = F[δT (t )] = ∑F ejnω1t T n=∞ 1 ∞ 2 ∞ π = ∑δ (ω nω1 ) = ω1 n∑δ (ω nω1 ) = δω (ω) T n=∞ =∞ 1F(nω1 )1 T1∞L∞

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[

]

1 ∞ π = ∑2 δ (ω nω1 ) T n=∞ 1

∞

F(ω) ∞∞ ∞

L

L (ω ) (ω ) (ω ) (ω ) (ω ) L 1 1 1 1 1

2ω1 ω1 o

ω1 2ω1

ω

2ω1 ω1

o

ω1 2ω1

ω

δT(t ) 的频谱密度函数仍是冲激序列,强度和间隔都是 1. ωX

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五.周期矩形脉冲序列的傅氏变换f (t )

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E

L

L

方法1 方法1

T1

τo2

τ2

T1

t

F0 (ω) → F(nω1 ) → F(ω) ωτ F0 (ω) = Eτ Sa 2 ∞

1 所以 F(nω1 ) = F0 (ω) ω = nω1 T1Eτ nω1τ Sa δ (ω nω1 ) 2 n=∞ T 1∞

F(ω) = 2π ∑F(nω1 ) δ (ω nω1 ) = 2 ∑ πn=∞

nω1τ = Eτω1 ∑ Sa δ (ω nω1 ) 2 n=∞∞

X

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方法2利用时域卷积定理,周期 利用时域卷积定理,周期T1 f (t ) = f0 (t ) δT(t )F(ω) = F0 (ω) ω1 ∑δ (ω nω1 )∞

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利用冲激函数的抽样性质∞ n=∞

n=∞

F(ω) = ω1 ∑F0 (nω1 ) δ (ω nω1 )因为所以

ωτ F0 (ω) = Eτ Sa 2 ∞ nω1τ F(ω) = ω1 ∑Eτ Sa δ (ω nω1 ) 2 ∞ ∞ nω1τ = Eτω1 ∑ Sa δ (ω nω1 ) 2 n=∞

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