数学分析课件22.3场论初步501.50KB

数学分析课件系列

§4.场论初步

【数学分析课件】

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向量场的散度与旋度

1’向量线如果在空间或某一部分空间的每一点处都确定一个向 量 a ,就有了向量场，向量 a 是点的函数a a xi a y j a z k

其中

ax,ay,az

都是 x , y , z

的数量函数。以后我们假定

是 x , y , z 的单值连续函数，且各个连续偏 导数都存在。在必要时还需假定二阶偏导数皆存在。ax,ay,az

在研究向量场时，向量线的概念是很重要的。在一向 量场的确定的区域中，若一曲线上每一点处的切线恰与在 这点的场向量重合，则这条曲线称为向量场的向量线。 设 M x , y , z 为向量上任一点，则向量线在这点的切【数学分析课件】

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线的方向余弦和向量线上的 到向量线应满足的微分方程dx ax dy ay

dx , dy , dz dz az

成比例，从而得

在向量 a 不为零的条件下，由线性微分方程组的理论可 知所考虑的整个场被向量线所填满，而通过场中每一点由 一条且只有一条这样的曲线，且过不同的点的两条向量线 没有公共点。 2’ 流量 设给定一个向量场，且设在点a x, y, z

M x, y, z

处的向量为

。在这场中，任取一个双侧曲面 S ,当选定它 的一个侧后，在它的每一点处引有向法线 n ,若 S 是封 闭的，则在法线的两个指向中任意选定一个。这样，曲面 积分 【数学分析课件】

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aS

x

cos n , x a y cos n , y a z cos n , z dS

称为向量 a 通过曲面 S 在所选择的那一侧的流量。显然 这个流量还可以表示为更简单形式

aS

n

dS

其中

an

为a 在

n

上的投影。通常我们还引用以下记号dS n 0 dS

称为有向曲面元，其中 n 为曲面的单位法向量，指向所 选定的一侧。于是上述积分又可表示为向量形式0

a dSS

3’散度 高斯公式的向量形式

设一向量场 a , V 为一闭曲面

S

n 所包围的空间区域，

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为曲面上向外的法向量，由高斯公式得 a dS a cos n , x a cos n , y a cos n , z dSn x y z S S

量 x 记为

a x

a y y

z

aVz

a x a y a z dV y z x

称为向量 a 的散度，它是一个数量场，pa a x x a y y a z z

利用散度的定义，高斯公式可写为

a dSS

padV

VS

这是高斯公式向量形式，它说明：向量 a 通过闭曲面 的流量等于这个向量的散度在 积分。S

所包围的区域上的三重

根据定义，向量场在一给定处的散度是一数量，散度 的全体构成一数量场。 【数学分析课件】

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上面所给出的散度的定义好像与坐标的选择有关，其 实

不然。为了说明这个事实，我们可给散度另一形式的定 义，设 M 为区域中任一点，在这点周围任取一含有这点 的区域 V ,令 S 为 V 的表面，则有高斯公式

aS

n

dS

padV

V

现在将两端除以体积 V ,然后令体积 V 趋于零，也就是V

缩成点 M 而求极限。利用三重积分的中值定理，则右端 恰等于 pa 在 M 点的值，即 pa ,这样就有散度的另一 M 个定义 a dSn

pa M

lim

S

V M

V

由散度的这一定义，可见它与坐标的选取无关。

4’ 向量场的环流量与旋度 斯托克斯公式的向量形式【数学分析课件】

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设已知一向量场 a ,a a x i a y j a z k 并设在这场 中任取一曲线 L ,则沿此曲线 L 的曲线积分

L

a x dx a y dy a z dz

L

a dl

称为向量a 沿曲线 L 的线积分，其中 a 表示向量 a 在 曲线 L 的切线 上的投影， dl 表示曲线 L 的弧长微分。 当L L

为闭曲线时，则积分

称为向量

沿闭曲线a

的环流量。通常我们还引用记号

L

a dl

称为有向曲线元，其中 为单位切向量。于是上述环流 量又可以写成以下的向量形式0

dl 0 dl

a dlL

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设闭曲线 L 为某一曲面 S 的边界，那么由斯托克斯 公式，向量 a 沿闭曲线 L 的环流量可表为曲面积分 a z a y L a d l [ y z c o s n , x S

a x a z x z

cos n , y

a y a x y x

cos n , z dS

称向量

a z a y a x a z a y a x , , z z x x y yi x ax j y ay k z az

为向量 a 的旋度，记为 rota

rota

利用

rota

的定义，斯托克斯公式可写为向量形式【数学分析课件】

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a slL

rotaS

dS

这个公式指出：向量 a 沿闭曲线rota

L

的环流量等于它的旋度S

通过以

L

为边界所张的任意曲面

的流量。

特别，若所取向量是在 xoy 平面上，那么斯托克斯 公式就变成向量形式的格林公式。

与散度一样，旋度是与坐标的选择无关的，为了说明 这个事实，我们来给它另一形式的定义：过一已知点 M 选定一个方向 n 及以 n 为法线的一块小平面区域 , 且设 l 为 的边界，于是根据向量形式的斯托克斯公式， 得 a dl rot a d L n S

这里

a

表示向量 a 在曲线

l

的切线上的投影， a 表示

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在法方向 n 上的投影。于是等式的两端除以所述 小块平面面积 ,并零这小块区域 收缩到给定点 Mrota

这时面积 趋于零。应用

二重积分中值定理，右端的极 限恰等于 rota ,即 M a dl rota liml

M

M

这公式给出向量 rota 在任意方向 n 上的射影的定义， 而且很明显，它是与坐标选择无关的。 5’ 散度与旋度的性质 散度与旋度都是线性的，即pa a b pa pb rot a b rota rotb

其中

, 是任意常数，这个性质可由定义直接验证。【数学分析课件】

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关于各种乘积有以下的计算公式，其中 x , y , z a 是函数， a x i a y j a z k 和 b b x i b y j b z k 是向量，p a pa grad a

p a b b rota a rotbrot a rota grad a

rot a b b x by bz a y z x ax ay az b x y z pb a pa b

6’ 二阶微分运算

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是由数量场产生的向量场， pa 是由向量场产生 的数量场，对它们继续 …… 此处隐藏：2486字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……