圆锥曲线_准点弦_的几个性质_玉邴图

30数学通报 2006年 第45卷 第3期

圆锥曲线/准点弦0的几个性质

玉邴图

(云南省广南一中 663300)

圆锥曲线焦点弦和顶点弦长问题是中学数学研究的热点,如文[1]和文[2],而对圆锥曲线/准点弦0(经过圆锥曲线准线与其对称轴交点的直线被圆锥曲线截得的弦)问题的研究并不多见.为此,笔者对圆锥曲线/准点弦0作了些研究,得到了几个性质,现说明如下,供读者参考.

定理1 经过横向型圆锥曲线的准线与其对称轴交点E作斜率为k或倾斜角为H的直线L,L与圆锥曲线相交于A,B两点,圆锥曲线焦点F到相对应准线的距离为p,圆锥曲线的离心率为e,则|AB|=2p

(1+k)(e-k)2pe-tan=.222

|1+k-e||secH-ecosH|

==

22222

|1+tanH-e|22

|sec|

22=

|cosH||sec2H-e2|

.

|secH-e2cosH|

定理2 E是横向型圆锥曲线M的准线和对称

=

轴的交点,经过E作斜率为k的直线L,圆锥的曲线的离心率是e,则

(1)L与M相离的充分必要条件是e<k;(2)L与M相切的充分必要条件是e2=k2;(3)L与M相交的充分必要条件是e2>k2.证明 由题设及定理1知(1)L与M相离Z弦AB不存在Ze2-k2<0Ze2<k2;

(2)L与M相切Z|AB|=0Ze-k=0Ze2=k2;

(3)L与M相交Z|AB|>0Ze2-k2>oZe>k.

证明3 F是横向型圆锥曲线的焦点,E是与焦点F相对的准线和对称轴的交点,经过E作斜率为k的直线交圆锥曲线于A,B两点,圆锥曲线的离心率为e,则#=0的充分必要条件是e2=2k2.

证明 同定理1的证明方法得(1+t)x2+2ptx+p2t=0(k2-e2=t)

设A(x1,y1),B(x2,y2),而F(0,0),所以=(x1,y1),=(x2,y2),故

FA#=0Zx1x2+y1y2=0,由方程(1)得#=0Zx1x2+y1y2=0Zx1x2+k2(x1+p)(x2+p)=0Z(1+k)x1x2+pk(x1+x2)+pk=0

()(6)2

2

2

2

2

2

2

22

2

证明 以EF所在直线为x轴,F为坐标原点建立直角坐标系,因焦点到相应准线的距离为p,则得F(0,0),E(-p,0),所以经过E的准线方程为x=-p,直线AB的方程为y=k(x+p)

(1)

设P(x,y)是横向型圆锥曲线上的任一点,它到准线的距离为d,则由题设及圆锥曲线统一定义得=e]|PF|2=d2e2]x2+y2=e2|x+p|2,d化简得

(1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0将(1)代入(2)得

(1+k2-e2)x2+2p(k2-e2)x+p2(k2-e2)=0,

令k-e=t,得(1+t)x+2ptx+pt=0

|AB|=(1+k)[(x1+x2)-4x1x2]

将方程(3)的两根之和与积代入(4)得-4p2t(1+k2)

|AB|=

(1+t)2

2222=,

(1+k2-e2)2

所以

2

2

2

2

2

2

2

2

(2)

(3)(4)

设A(x1,y1),B(x2,y2),则由弦长公式得

(5)

|AB|=

2p

(1+k)(e-k)+22(6)

2006年 第45卷 第3期

p2t2pt

-k2p#+k2p2=0,1+t1+t

化简得t+k2=0,再由t=k2-e2得

(1+k2)#

k2-e2+k2Ze2=2k2.

数学通报

>0)的右准线和x的交点E,作斜率为

31的直线与2

椭圆相交于A,B两点,F是椭圆的右焦点,若FA#=0,求椭圆的离心率e.

解 因为#=0,由本文定理3得e2=2k2=2(

121)=]e=.222

x2y2

-=1的ab

这两个结论不仅简单有趣,而且便于记忆,应用它可方便地解决一些问题和编拟一些新题.

例1 (2004年全国高考题)经过抛物线y=2px(p>0)的准线与对称轴的交点作斜率为k的直线L,若L与抛物线总有公共点,则k的取值范围是

解 因为e=1,由题设及定理2的(2)、(3)得|k|[1Z-1[k[1.

所以k的取值范围是-1[k[1.

y

=1的右准线和x的3

交点E,作斜率为1的直线L,L与双曲线交于A,B

例2 经过双曲线x2-两点,O是双曲线中心,求三角形AOB的面积.

解 因为a=1,b=a2b2

p=c-==cc

32#

|AB|=

2

2

2

例5 (笔者新编题)经过双曲线

左准线和x的交点E,3的直线与双曲线相交于A,B两点,F是双曲线的左焦点,若#=0,且双曲线经过点A(2,),求双曲线方程.

解 由题设及本文定理3得e2=2k2=6]c2=6a2]a2+b2=6a2]b2=5a2因为双曲线经过点A(2,5),

45

=1(2)2-ab2

联立(1)和(2)解得a2=3,b2=15,故所求双所以

22

曲线方程为-=1.

315

例6 (笔者新编题)过抛物线y2=4x的准线与x轴的交点E作直线交抛物线于A,B两点,F是抛物线焦点,若#=0.(1)求直线AB的方程;(2)求三角形ABF的面积.

解 (1)设直线AB的斜率为k,因为抛物线的离心率e=1,故由定理3得kAB=?

=?,又知

2(x+1).2

(1)

,c=2,e=

c

=2,3

,而k=1,由定理1得2

(1+12)(22-12)|1+1-2|

2

2

=

.2

又因为=,所以点E为(,0),而k=1,

c22

所以直线L的方程为y=1(x-),2即2x-2y-1=0,它到原点O的距离d=,

4

所以三角形AOB的面积

1331

|AB|#d=##=.

22482

22

例3 (2003年希望杯培训题)经过椭圆+

43

=1的右准线和x的交点E,作椭圆的切线L,求L

S=的方程.

解 因为a=2,b=

,c=1,e=

1,2

点E(-1,0),故直线AB的方程为y=?

(2)将y=?

(x+1)代入抛物线方程解得2

xA=3+2,xB=3-2.由抛物线焦半径公式得|FA|=

+xA=4+22,|FB|=+xB=22

4-2,所以三角形ABF的面积

S=

|FA||FB|sin<FA>2\(4+22)(4-22)sin90b=4.2

2

=4,右准线和x的交点为E(4,0),c

由定理2得L的斜率k=?e=?故所求切线L的方程为y=?

1,2

1

(x-4).2

22

例4 (笔者新编题)过椭圆2+2=1(a>b

ab

参考文献

1 玉邴图.一个换算公式的完善.数学通报,2002,22 玉邴图.一个换算公式的启示.数学通报,2003,1