三明学院大一下高数期末考十套卷解答 (3)

6三明学院第二学期《高等数学》（下）期末考试卷 闭卷

参考答案及评分标准

（使用班级：四课时）考试时间：120分钟

一 选择题(每小题3分，共15分)

1二元函数f(x,y) x2 y2 2x的驻点是（ C ） A ( 1,1) B (0, 1) C ( 1,0) D ( 1, 1) 2 极限

B ）

(x,ylim

) A 等于1 B等于0 C 等于2 D 不存在 3. 直线

x 2y z 7与直线x 1y 2x y z 7

3 51 z 4

5（ D ） A 相交 B 垂直 C 平行 D 重合

4 直线 x 1

y 0 绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程为（A ）

A x2 y2 1 B y2 z2

1 C x2

z2

1 D 以上都不是

5 如果幂级数

an

n x 1

的收敛半径是2，则级数在开区间（ ）内收敛。

n 0

A ( 2,2) B (0,2) C (1,3) D ( 3,3) 二、(每小题3分，共18分)填空题.

1. 曲线 x2 y2 z2 1

x2 (y 1)2 (z 1)2

1

在xoy平面上的投影曲线为

x2 2y2 2y 0

z 02. 设平面Ax By z D 0通过原点，且与平面6x 2z 5 0平行，则 -3 B= 0 D=

共 4 页第 1页

1

《高等数学》（下）期末考试卷参考答案及评分标准

3.直线

2x y z 1xy 1z 2 与直线 的夹角的余弦为

23 1 3x 2y z 1

4.若交错级数

1

n 1

n 1

un绝对收敛，则正项级数 un是收敛，是发散，还是不能确定？

n 1

5.设z e

y(x2 y2)

，则dz 。7. ey(x

2

y2)

[2xydx (x2 3y2)dy]

6. 设AB为连接点A(1,0,2)与点B(1,3,2)的线段，则对弧长的曲线积分

解：设该物体的质量为M

AB

x2yxds=

M (x y z)dxdydz dx dy (x y z)dz ………….. （2分）

111

dx [(x y)z

111211

z]0dy dx [x y ]dy ………….. （6分）

00002211111231 [(x )y y2]1dx (x 1)dx (x x) ………….. （10分） 00 0022221

1

四、设z

y1 z1 zz

f(u) ，其中为可导函数，验证。（10分） 222

f(x y)x xy yyy

yf 1(x2 y2) 22

f(x y)

证明：z

z1 y ( 1) f 2(x2 y2) 2x 2xy22 2 xf(x y)

z1112y2

………….. （3分） y22 2y 22

222222

yf(x y)f(x y)f(x y)f(x y)1 z1 z11112y2

2xy22 [ ] ………….. （6分）

x xy yf(x y2)xyf(x2 y2)f2(x2 y2)

2y12y

f2(x2 y2)yf(x2 y2)f2(x2 y2)

1yz

………….. （10分）

yf(x2 y2)y2f(x2 y2)y2

五 计算

D

（10分）. x2 y2 dxdy，其中D是由x2 y2 3所确定的闭区域。

2

2

2

2

解：假设D1是由x y 1所确定的闭区域，D2是由1 x y 3所确定的闭区域。

共 4 页第 2页

《高等数学》（下）期末考试卷参考答案及评分标准

2

x

2

y2 1dxdy (x2 y2 1)dxdy ………….. （2分）

D

(1 x2 y2)dxdy D 1

D2

(1 x2 y2)dxdy 2 d 1(1 2) d 2 1

( 3

)d D0

0

1

2 (1 2 1 41

2)

2 (12 14) 1

4

2

………….. （5分）

(x2 y2 1)dxdy 2

d 3

( 2 1) d 2 3

( 3

1

1

)d D2

2 (14 4 12

2)31 32 ………….. （8分）

故

x2 y2 1dxdy 321

2

………….. （10分）

D

六 确定 的值，使曲线积分

x

2

4xy dx 6x 1y2 2y dy在XoY平面上与路径无

C

关。当起点为 0,0 ，终点为 3,1 时，求此曲线积分的值。（10分） 解：由条件得

P y Q x

, 即 4 xy 1 6 1 x 2

, 3, ………….. （4分） 取积分路径L:(0,0) (3,0) (3,1)，设L1:y 0(x:0 3),L2:x 3(y:0 1)

3,1

2

3 0,0 x

4xy dx 6x2y2 2y dy

2

L x

2

4xy3 dx 1

L 6xy

2

2y dy（8分）

2

3

2

1

1321

0xdx 0(54y2 2y)dy=(3

x3)30 (18y 2y)0 26 ………….. （10分） 七、求幂级数

1

2n 1

x2n的收敛域与和函数。（10分） n 01

解：收敛半径R liman2

n a lim 1，故当x 1，即x 1时，级数收敛。（2分）n 1

n 2n 3

当x 1时，级数 1

1发散，当x 1时，级数 1

n 1

发散 ………….. （4分）

n 02nn 02故原幂级数的收敛域为( 1,1)。 当x 0时，

1x2n 1n 02n 1

x 1x2n 1

1 xt2ndt 1x 2n 02n 1xn 00x 0( t)dt

nn 0共 4 页第 3页

3

《高等数学》（下）期末考试卷参考答案及评分标准

1x11x1111 x

( )dt ln …….. （9分）

x01 t22x 01 t1 t2x1 x

原幂级数在收敛域( 1,1)内，其和函数为：

11 x

ln12n x2x1 x

x 0

………….. （10分）

n 02n 1 0x 0

八、解微分方程

1 求微分方程xlnx y y 的通解。（8分） 解：令y p，代入原方程得xlnx p/ p，或

1pdp 1

xlnx

dx，………….. （3分）lnp lnlnx C1,p eC1lnx，解得p C2lnx,C2 eC1

故y/

C2lnx,dy C2lnxdx,y C2

lnxdx， ………….. （7分）

解得原方程通解为y C2(xlnx

dx) C2x(lnx 1) C3 ………….. （8分） 2一曲线经过原点，且曲线上任意一点 x,y 处的切线斜率为2x y，求该曲线方程。 （9分）

解：由已知y/

2x y（1）， ………….. （2分） 下面先求y/

y（2）的通解 由（1）得

1

y

dy dx，解得y C1ex，此即为（2）的通解。 ……….. （4分） 假设y uex

（3）为方程（1）的通解，将（3）代入（1）得u/ex

uex

2x uex

即u/ 2xe x

，解得u 2e x

(x 1) C2，代入（3）得（1）的通解为

y [ 2e x(x 1) Cx2]ex 2(x 1) C2e ， ………….. （7分）

因为曲线经过原点，所以0 2(0 1) C2，即C2 2

故所求的曲线方程为y 2

ex

x 1

………….. （9分）

共 4 页第 4页

《高等数学》（下）期末考试卷参考答案及评分标准

4