随机信号分析答案(赵淑清版)7

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第七次作业：练习二之11、12、13、14、15题

22

2.11 对于两个零均值联合平稳随机过程X(t)和Y(t)，已知 X 5, Y 10，说明下列函数是否可能为他们的自相关函数，并说明原因。

2

sin(3 ) RY( ) 5[](1)RY( ) cos(6 )e(2)3

2

(4)RX( ) 5sin(5 ) (3)RY( ) 6 4e 3

(5)

RX( ) 5u( )e 3

(6)

RX( ) 5e

解：

（a）自相关函数是偶函数，仅有(1)、(2)、(3)、(6)满足； （b）RX(0) RX( )，（a）中仅有(2)、(3)、(6)满足；

2（c）对于非周期平稳过程有 X（b）中仅有(6)满足。 RX(0) RX( )，

因此，(6)是自相关函数。

Φ为在[0,2 ]内均匀分布2.12 求随机相位正弦信号X(t) cos( 0t Φ)的功率谱密度，

的随机变量， 0是常数。

RX(t,t ) E[X(t)X(t )] E[cos( 0t Φ)cos{ 0(t ) Φ}]

解：

1

cos 0 2

1

SX( ) RX( )e j d cos 0 e j d

2

2

[ ( 0) ( 0)]

n

2.13 已知随机过程X(t) aiXi(t)，式中ai是常数，Xi(t)是平稳过程，并且相互之

i 1

间是正交的，若SXi( )表示Xi(t)的功率普密度，证明X(t)功率谱密度为

SX( ) ai2SXi( )

i 1n

证：因Xi(t)是平稳过程，并且相互之间是正交的，Rij( ) 0,i j。

RX( ) E[X(t)X(t )] E[ aiXi(t) aiXi(t )]

i 1

i 1

nn

aE[Xi(t)Xi(t )] ai2RXi( )

2ii 1

i 1

nn

j

SX( ) RX( )e

d

i 1

aR

2i

n

Xi

( )e

j

d ai2SXi( )

i 1

n

2.14 由X(t)和Y(t)联合平稳过程定义了一个随机过程V(t) X(t)cos 0t Y(t)sin 0t （1）X(t)和Y(t)的数学期望和自相关函数满足那些条件可使V(t)是平稳过程。 （2）将（1）的结果用到V(t)，求以X(t)和Y(t)的功率谱密度和互谱密度表示的V(t)的功率谱密度。

（3）如果X(t)和Y(t)不相关，那么V(t)的功率谱密度是什么？

随机信号分析答案(赵淑清版)7

解：

（1）E[V(t)] E[X(t)cos 0t Y(t)sin 0t] E[X(t)]cos 0t E[Y(t)]sin 0t

欲使E[V(t)]与时间无关，不随时间函数cos 0t、sin 0t变化，X(t)和Y(t)的数学期望必须是E[X(t)] 0,E[Y(t)] 0；

RV(t,t ) E[V(t)V(t )]

E[{X(t)cos 0t Y(t)sin 0t}{X(t )cos 0(t ) Y(t )sin 0(t )}] E[X(t)X(t )]cos 0tcos 0(t ) E[X(t)Y(t )]cos 0tsin 0(t ) E[Y(t)X(t )]sin 0tcos 0(t ) E[Y(t)Y(t )]sin 0tsin 0(t ) RX( )cos 0tcos 0(t ) RXY( )cos 0tsin 0(t )

RYX( )sin 0tcos 0(t ) RY( )sin 0tsin 0(t )

在RX( ) RY( ),RXY( ) RYX( )时，上式可写作与时间起点无关的表达式： RV( ) RX( )cos 0 RXY( )sin 0

因此，当E[X(t)] 0,E[Y(t)] 0，RX( ) RY( ),RXY( ) RYX( )时，V(t)是平稳过程。

（2）对RV( ) RX( )cos 0 RXY( )sin 0 两边同时作傅氏变换：

j

SV( )

RV( )ed [RX( )cos 0 RXY( )sin 0 ]e j d

11

[SX( 0) SX( 0)] [SXY( 0) SXY( 0)]22

（3）X(t)和Y(t)不相关，V(t)的互功率谱密度为零。

1

SV( ) [SX( 0) SX( 0)]

2

2.15 设两个随机过程X(t)和Y(t)各是平稳的，且联合平稳

X(t) cos( 0t Φ)

Y(t) sin( 0t Φ)

式中，Φ为在[0,2 ]内均匀分布的随机变量， 0是常数。他们是否不相关、正交、统计独立。

解：E[X(t)] E[Y(t)] 0

1

RX( ) RY( ) cos 0

2

1

RXY( ) E[X(t)Y(t )] E[cos( 0t Φ)sin( 0t Φ)] sin 0

2

1

CXY( ) RXY( ) E[X(t)]E[Y(t)] sin 0 0

2

X(t)和Y(t)是相关的，不是统计独立的； 又RXY( ) 0，X(t)和Y(t)是非正交的。