2014届高三数学一轮复习专讲专练_：9.6_双曲线

来源：网络收集时间：2026-04-29

导读：双基限时练 巩固双基,提升能力一、选择题 1．(2012大纲全国)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( ) 1334 A.4 B.5 C.4 D.5解析：依题意得a＝b＝2，∴c＝2. ∵|PF1|＝2|PF2|，设|PF2|＝m，则|PF1|＝2m.

双基限时练

巩固双基,提升能力

一、选择题

1．(2012·大纲全国)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )

1334

A.4 B.5 C.4 D.5解析：依题意得a＝b＝2，∴c＝2. ∵|PF1|＝2|PF2|，设|PF2|＝m，则|PF1|＝2m. 又|PF1|－|PF2|＝22＝m. ∴|PF1|＝42，|PF2|＝22.

42 2＋ 22 2－423

又|F1F2|＝4，∴cos∠F1PF2＝4故选C.

2×42×22答案：C

x2y2

2．(2012·湖南)已知双曲线Ca－b1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )

x2y2

A.20－51 x2y2

C.80－20＝1

x2y2

B.5201 x2y2

D.2080＝1

解析：设焦距为2c，则得c＝5.点P(2,1)在双曲线的渐近线y＝a上，得a

＝2b.结合c＝5，得4b2＋b2＝25，解得b2＝5，a2＝20，所以双曲线方程为20－5

＝1.

答案：A

3．(2012·课标全国)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物

线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为( )

A.2 B．22 C．4 D．8

解析：设等轴双曲线方程为x2－y2＝a2，根据题意，得抛物线的准线方程为x＝－4，代入双曲线的方程得16－y2＝a2，因为|AB|＝43，所以16－(23)2＝a2，即a2＝4，所以2a＝4，所以选C.

答案：C

x2y2

4．(2012·福建)已知双曲线4－b1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )

A.5 B．42 C．3 D．5

解析：y2＝12x的焦点为(3,0)，由题意得，4＋b2＝9，b2＝5，双曲线的右焦|5×3－0|5

点(3,0)到其渐近线y＝2x的距离d＝＝5.

5＋4

答案：A

x2y2

5．(2012·浙江)如图，F1，F2分别是双曲线Ca－b1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是(

)

236

A.3 B.2 C.2 D.3

解析：依题意得直线F1B的方程为y＝c＋b，M点坐标为(3c,0)，那么可知c

线段PQ的垂直平分线的方程为y＝－bx－3c)，

b y＝cx＋b，

由 b y＝－ax，b y＝cx＋b，由 b y＝a，

acbc

解得点P的坐标为－a＋c，a＋c ，

acbc

解得点Q的坐标为c－ac－a，

acc c

那么可得线段PQ的中点坐标为 b，b ，代入y＝－b(x－3c)并整理，可得

2c＝3a，可得e＝a＝

22，故应选B.

答案：B

x2y2y22

6．已知椭圆C1x－41有公共的焦点，ab1(a＞b＞0)与双曲线C2：C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )

13A．a＝2

B．a2＝13 D．b2＝2

C．b＝2

解析：依题意a2－b2＝5，根据对称性，不妨取一条渐近线y＝2x，由

y＝2x， x2y2

ab1，

解得x＝ab25ab

C1把4a＋b4a＋b

25ab2a2222

AB三等分，所以3a＝11b，代入a－b＝54a＋b

得b＝2C.

答案：C 二、填空题

x2y2

7．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线m2＝1的离心率

m＋4为5，则m的值为______．

m＋m＋4

解析：由题意，双曲线的焦点在x轴上且m＞0，所以e＝＝5，

m所以m＝2.

答案：2

8．(2013·山东泰安调研)P为双曲线x－151右支上一点，M、N分别是圆

(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为__________．

y2解析：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F1和F2)恰为双曲线x－15＝1的两

焦点．

当|PM|最大，|PN|最小时，|PM|－|PN|最大，|PM|最大值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之和，同样|PN|最小＝|PF2|－1，从而|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2a＋3＝5.

答案：5

x2y29．(2012·湖北)如图，双曲线a－b1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则

(1)双曲线的离心率e＝__________.

S(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值S__________.

解析：(1)由图可知，点O到直线F1B2的距离d与圆O的半径OA1相等，又直线F1B2的方程为

＋b1，即bx－cy＋bc＝0. －c

所以d＝＝a，整理得b2(c2－a2)＝a2c2，即(c2－a2)2＝a2c2，得c2－a2

b＋c＝ac.

5＋1

所以e－e－1＝0，解得e＝2负值舍去)．

(2)连接OB(图略)，设BC与x轴的交点为E，由勾股定理得|BF1|＝c－a＝b.

|FB||OB|ab由等面积法得|BE|＝|FO|＝c，

则|OE|＝|OB|－|BE|＝c4a3b

进一步得到S2＝2|OE|·2|EB|＝c.

又因为S1＝2F1F2||B1B2|＝2bc， 5＋2Sc313

所以S＝2a2＝2.

25＋15＋2

答案：(1)2；(2)2 三、解答题

10．(2013·安徽质检)已知点M是圆B：(x＋2)2＋y2＝12上的动点，点A(2,0)，线段AM的中垂线交直线MB于点P.

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与曲线C交于R，S两点， D(0，－1)，且有|RD|＝|SD|，求m的取值范围．

解析：(1)由题意得|PM|＝|PA|，结合图形得||PA|－|PB||＝|BM|＝23，∴点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a＝23，a＝3，c＝2，于是b＝1，故x22

P点的轨迹C的方程为3y＝1.

2x －y2＝1，

(2)当k≠0时，由 3得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，(*)

y＝kx＋m，

由直线与双曲线交于R，S两点，显然1－3k2≠0，Δ＝(6km)2－4(1－3k2)(－3m2－3)＝12(m2＋1－3k2)＞0，

6km

设x1，x2为方程(*)的两根，则x1＋x2＝

1－3k设RS的中点为M(x0，y0)，则 3kmmx0＝，y＝kx＋m＝ 00

1－3k1－3k故线段RS的中垂线方程为

3km 1 m

y－＝－ x－. 1－3k k 1－3k

将D(0，－1)代入化简得4m＝3k2－1，

22 m＋1－3k＞0，

故m，k满足 2

4m＝3k－1.

消去k2即得m2－4m＞0，即得m＜0或m＞4，又4m＝3k2－1≥－1，且3k2－1≠0， 1

∴m≥－4m≠0，

1 ∴m∈－40 ∪(4，＋∞)．

611．(2013·云南检测)双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝2，43直线3x－3y＋5＝0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于3.

(1)求双曲线S的方程；

(2)设经过点(－2,0)，斜率等于k的直线与双曲线S交于A，B两点，且以A，B，P(0,1)为顶点的△ABP是以AB为底的等腰三角形，求k的值．

x2y2

解析：(1)根据已知设双曲线S的方程为ab1(a＞0，b＞0)．

c66a∵e＝a2c＝2，b2＝c2－a2＝2∴双曲线S的方程可化为x2－2y2＝a2，

∵直线3x－3y＋5＝0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于

6 43

3 2，0 ，

6a 3× 52

∴

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