椭圆参数方程习题课

椭圆参数方程习题课

当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是 { x a cos y b sin ( 为参数)

这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆。

在椭圆的参数方程中，通常规定参数 的 范围是 [0,2 )

y A M

B

x

o

1、椭圆{

x 3 17 cos y 8 sin 2

( 为参数)的中心坐标

为 __________准线方程为 __________ , ____.

(3, 2)

289 x 3 15

2、求定点(2a,0)和椭圆{

x a cos y b sin

( 为参数)上各

点连线的中点轨迹方程。

解：设定点与椭圆上的点连线的中点为M ( x, y ) 2a a cos x 2 则{ ( 为参数) b sin y 2 ( x a) 2 y 2 上述的方程消去参数，得 2 1 2 a b 4 4

x2 y2 例1、在椭圆 1上求一点M,使点M到 9 4 直线x 2 y 10 0的距离最小，并求出最小距离

解：因为椭圆的参数方程为{ 所以可设点M (3 cos ,2 sin )

x 3 cos y 2 sin

( 为参数)

由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离 d 3 cos 4 sin 10 5

3 4 5(cos sin ) 10 1 5 5 5 cos( 0 ) 10 5 5

3 4 其中 0满足 cos 0 , sin 0 5 5 由三角函数性质知，当 - 0=0时，d取最小值 5 9 8 此时3 cos 3 cos 0 ,2 sin 2 sin 0 5 5 9 8 所以，当点M位于( , )时，点M与直线 5 5 x 2 y 10 0的距离取最小值 5。

思考： 与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数 x2 y2 x, y满足 1的前提下，求出z x 2 y的 25 16 最大值和最小值吗？由此可以提出哪些类似的 问题？

设M (5 cos ,4 sin )是椭圆上的一点，则 z 5 cos 8 sin 89 cos( 0 ) cos( 0 ) [ 1,1] z [ 89 , 89 ]

3、设P( x, y )是椭圆2 x 3 y 12上的一个动点，2 2

求x 2 y的取值范围。

x y 解：椭圆的方程可化为 1, 6 4 它的一个参数方程为 { x 6 cos y 2 sin ( 为参数， 2 ) 0

2

2

x 2 y 6 cos 4 sin 22 cos( ) cos( ) [ 1,1] x 2 y [ 22 , 22 ]

4、P是椭圆{

x 4 cos y 2 3 sin

( 为参数)上一点，且

在第一象限，OP (O为原点)的倾斜角为 ，则 3 点P的坐标为 ( B )

4 4 A、 ,3), B、 5 , 15 ) (2 ( 5 5

C、 3, 3 ), D、 ,3) (2 (4

解： OP的倾斜角为 kOP tan 3 3 3 y 2 3 sin 又kOP 3 sin 2 cos x 4 cos 2 2 又 sin cos 1, 且点P在第一象限 5 2 5 cos , sin 从而有 5 5 4 5 4 15 x 4 cos , y 2 3 sin 5 5