2015全国卷1文科数学试题(附答案)

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2015年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x|x=3n+2,n N},B={6,8,12,14},则集合A B中元素的个数为 （A）5 （B）4 （C）3 （D）2 （2）已知点A（0,1），B（3,2），向量AC=（-4，-3），则向量BC=

（A）（-7，-4） （B）（7,4） （C）（-1,4） （D）（1，4） （3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=

（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i

（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组

勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为

10111

（A） （B） （C） （D）

351020

1

（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y²=8x

2

的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|= （A）3 （B）6 （C）9 （D）12

（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

是公差为1的等差数列，

则=4，

=

（7）已知

（A） （B

） （C）10 （D）12 （8）函数

f(x)=

的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为

（A）（k

-, k-

, 2k

-）,k-）,k

（A）（2k

（A）（k-, k-）,k

（A）（2k-

, 2k-）,k

（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （10）已知函数（A）-，且f（a）=-3，则f（6-a）=

7531 （B）- （C）- （D）- 4444

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则

r=

（A）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

（12）设函数y=f（x）的图像关于直线y=-x对称，且f（-2）+f（-4）=1， 则a=

（A）-1 （B）1 （C）2 （D）4

2015年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学 第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答，答案无效。

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~ 第24题为选考题，考生根据要求做答。

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分

（13）在数列{an}中， a1=2,an+1=2an, Sn为{an}的前n项和。若-Sn=126，则n=. （14）已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点（1，f(1)）处的切线过点（2,7），则（15）x,y满足约束条件

2

，则z=3x+y的最大值为.

y2

（16）已知F是双曲线C：x-=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0,66）.

8

当△APF周长最小是，该三角形的面积为

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

（17）（本小题满分12分）

已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC （Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）设B=90°，且a=2，求△ABC的面积

（18）（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD. （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；

（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥—ACD的体积为

6

，求该三棱锥的侧3

面积 （19）（本小题满分12分）

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的

年宣传费和年销售量（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

1表中w1 ，w =

8

w1

i 1

8

（1） 根据散点图判断，y=a+bx与y关于年宣传费x的

回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2） .. （un vn）,其回归线v= u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

（20）（本小题满分12分）

已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点. （1） 求K的取值范围；

（2） 若OM·ON =12，其中0为坐标原点，求︱MN︱.

（21）.（本小题满分12分） 设函数x。

（Ⅰ）讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数； （Ⅱ）证明：当a 0时，f(x) 2a aln

2

。 a

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则安所做的第一题计分。作答时请写清题号。 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E。

（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）若

，求∠ACB的大小。

（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程

（1）求C1

在直角坐标系xOy中，直线C1:x= 2,圆C2：(x 1)2 (y 2)2 1，以坐标原

点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

，C2的极坐标方程。

（2）若直线C3的极坐标为 =

（ρ R）,设C2与C3的交点为M，N,求△C2MN的面积 4

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f（x）=|x+1|-2|x-a|，则a>0.

（1） 当a=1时，求不等式f（x）>1的解集；

（2） 若f（x）的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.