相似知识点总结

相似知识点总结

相似

【知识脉络】

【基础知识】 Ⅰ. 有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形。

(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形。 ．．．．．．．．．．．．． 相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)。 Ⅱ. 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1）基本性质：

2

①a:b c:d ad bc；②a:b b:c b a c．

注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad bc，

c:d a:b，b:d a:c，b:a d:c。除了可化为a:b c:d，还可化为a:c b:d，

ab

(交换内项) c d，

ac dc

(交换外项)（2）换比性质(交换比例的内项或外项)： ，

bd ba

db

(同时交换内外项) c a．

Ⅲ. 平行线分线段成比例定理 基础图形：

1

相似知识点总结

定理：如上图，三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． Ⅳ. 相似三角形 （1）概念：

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。 注：

① 对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比

较容易找到相似三角形的对应角和对应边； ② 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的； ③ 两个三角形形状一样，但大小不一定一样；

④ 全等三角形是相似比为1的相似三角形。二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求 对应边成比例。 （2）判定：

根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）

①.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；

②.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似； ③.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似； ④.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；

2

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直角三角形相似判定定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 注：

射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高， 则

AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。

（3）性质：

相似三角形的性质： ①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方

（4）相似三角形的几种基本图形：

1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）

B

2

2

2

B

C

D

(2)

B

(3)

2）如图：

其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、

“反A共角共边型”、 “蝶型”）

3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）” “三垂直型”）

A

E

1

B

DC

2B

A

4

D

EA

E

D

C

BC

C(D)B

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4）如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

B

A

D

E

C

Ⅴ. 位似

（1）如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图 形叫做位似图形。这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比 注：

1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. 2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. 3） 位似图形的对应边互相平行或共线.

（2）位似图形的性质： 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 注：位似图形具有相似图形的所有性质。 （3）画位似图形的一般步骤： （详看例子）

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