1-2-算符及本征值

算符及本征值

复数(Complex Numbers)

复数： z x iy, x和y为实数，i = 1 z的共轭复数z x iy*

z z

2

* 2

zz x y* 2 i

2

欧拉公式： e cos i sin

算符(Operater)算符的定义：一种运算符号，当其作用到某一函数上时， 会根据某种运算规则，把该函数变为另一个函数。如∫,∑, √,lg,sin 等都是算符。 通常给字母上加一 ^ 或 [ ]表示算符。

A 1 2运算 乘以 算符 x sin x的作用结果x sin x sin x d dx

取平方根对x求导

cos x

算符运算规则 Bf 算符相等：对任意函数f,有 Af +B +Bf ) f Af 算符加法： ( A 2 f A ( Af ) A ( Bf ) 算符乘法： ABf A BA AB

B A

例

x A

d B dx

BA 算符对易： AB

( Bf ) x d f x d f A dx dx d df B( Af ) x f f x dx dxd d 3 f 3 f dx dx

BA AB 一般情况

例

3 A

d B dx

思考 的三个例子， 给出算符A 满足：A ex ex 使得A

算符(Operater)线性算符:

c c ) c A c A A( 1 1 2 2 1 1 2 2c1, c2为任意常数， 1, 2为任意函数

以下算符哪些(个)是线性算符？

运算 乘以

算符 x

线性算符？

取平方根对x求导d dx

算符(Operater)厄米(Hermite)算符(也称为自轭算符 ): ) d 或者 A d (A ) d A d (A 1 2 2 1 1 1 1 1

1*表示对 1求复共轭，例如： 1 exp[ix], 1* exp[ ix]d d2 d 例如：i 、x和 2 是厄米算符, 不是厄米算符 dx dx dx

例

i d A dx 1

* i d A dx

1 eix

1* e ix

2 d ix ix ix ix A dx e ( i ) e dx e ( i ) e dx dx x 1 dx

) dx eix (i (A 1 1

d ix e ) dx eix ( i ) 2e ix dx dx x dx

为厄米算符 所以，算符A

本征函数、本征值和本征方程

作用于函数 等于一常数a乘以 若算符A

a A 的本征函数，a为算符A 的本征值。 则称函数 为算符A

例

d e 是算符 的本征函数 dx2x

本征方程

d 下列哪些函数是算符 的本征函数？ dx (1) x 2 (2) exp( x )2

(3) 2012 (4) exp( x) (5) sin(4 x) (6) cos(4 x) i sin(4 x)

本征函数

d 求 的本征函数？ dx d 解：本征方程为： ( x) a ( x) dx d ( x) adx ( x) ln ( x) ax C '

( x) e e CeC ax

ax

作业