大学物理2-1第六章(振动与波)习题答案

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习 题 六

6-1 一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm。现把质量为4kg物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后释放并开始计时。求：(1)物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。

[解] (1)取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向，建

立坐标系 k 60 200N/m 230 10

k200 7.07rad/sm4A 0.1m

设振动方程为 x cos 7.07t

t 0时 x 0.1 0.1 0.1co s 0

故振动方程为 x 0.1cos 7.07t m

(2)设此时弹簧对物体作用力为F，则

F k x k x0 x

其中 x0 mg40 0.2m k200

因而有 F 200 0.2 0.05 30N

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(3)设第一次越过平衡位置时刻为t1，则

0 0.1cos 7.07t1 t1 0.5 7.07

第一次运动到上方5cm处时刻为t2 ，则

0.05 0.1cos 7.07t2 t2 2 3 7.07

故所需最短时间为：

t t2 t1 0.074s

6-2 一质点在x轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过点 A时作为计时起点(t＝0)，经过2s后质点第一次经过点B，再经 2s后，质点第二经过点B，若已知该质点在A、B两点具有相同的速

率，且AB=10cm，求：(1)质点的振动方程：(1)质点在A点处的速率。 [解] 由旋转矢量图和|va| |vb|可1知T 4s 2

由于T 8s, 1/8s 1 2 /4

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(1) 以AB的中点为坐标原点，x轴指向右方。

t=0时, x 5 Acos

) Asin t=2s时， x 5 Acos2(

由以上二式得 tan 1

因为在A点质点的速度大于零，所以 3 4

A x/cos 52cm

所以，运动方程为：

x 2 10 2cos( t/4 3 /4)(SI)

dx 52 10 2 t3 ) (2)速度为： v dt444

当t=2s时 dx 52 10 2 t3 v ) 3.93 10 2m/s dt444

6-3 一质量为M的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为 12cm，在距平衡位置6cm处，速度为24cm，求：(1)周期T； (2)速度为12cms时的位移。

[解] (1) 设振动方程为x Acos t cm

以A 12cm、x 6cm、v 24cm s 1代入，得：

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6 12cos t

24 12 sin t

利用sin2 t cos2 t 1则

6 24 1 12 12

解得 2243 3T 2 3 2.72s 2

(2) 以v 24cm s 1代入，得：

12 12 sin t 16sin t

3 4

所以 cos t 4

故 解得： sin t

10.8cm x 12cos t 12 4

6-4 一谐振动的振动曲线如图所示，求振动方程。

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[解] 设振动方程为： x Acos t

根据振动曲线可画出旋转矢量图

由图可得： 2 3

5 t 32 12

5 t2 故振动方程为 x 10cos cm 3 12

6-5 一质点沿x轴作简谐振动，其角频率 10rads，试分别写出以下两种初始状态的振动方程；(1)其初始位移x0＝7.5 cm，初始速度v0 75.0cms；(2)其初始位移x0＝7.5

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cm，初速度v0 75.0cm。

[解] 设振动方程为 x Acos 10t

(1) 由题意得： 7.5 Acos

75 10Asin

解得： 4 A=10.6cm

故振动方程为：

x 10.6cos 10t 4 cm

(2) 同法可得： x 10.6cos 10t 4 cm

6-6 一轻弹簧在60 N的拉力作用下可伸长30cm。现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg待其静止后再把物体向下拉10cm，然后释放。问：

(1)此小物体是停止在推动物体上面还是离开它?(2)如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件?二者在何位置开始分离?

[解] (1)小物体停止在振动物体上不分离。

(2) 设在平衡位置弹簧伸长l0，则kl0 Mg

又 k N60 200Nm l0.3

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故 l0 Mg4 9.8 0.196m k200

当小物体与振动物体分离时 kA kl0 Mg ，即 A l0，

故在平衡位置上方0.196m处开始分离。

6-7 一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12cm，在距平衡位置6cm处，速度是24cms。如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动(振动频率不变)，当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩系数 是多大?

[解] 设振动方程为 x 12cos t 则： v 12 sin t 以x=6cm v=24cm/s代入得：

6 12cos t

24 12 sin t

解得

最大位移处： a A 2 43rad 3

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F ma mA 2

由题意，知 mg mA 2

A 2g 0.0653

6-8 两根倔强系数分别为k1和k2的轻弹簧串接后，上端

固定，下端与质量为m的物体相连结，组成振动系统。当物体被拉离平衡位置而释放时，物体是

否作谐振动?若作谐振动，其周期是

多少?若将两弹簧并联，其周期是多少?

[解] (1) 串接：物体处平衡位置

时，两弹簧分别伸长x10、x20 mg k2x20

(1)

k1x10 k2x20 (2)

取平衡位置为坐标原点，坐标向下为正，令物体位移为x，

两弹簧再次伸长 x1、 x2，则

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F mg k2 x20 x2

由(1)知 F k2 x2

(3)

又

(4)

x1 x2 x

(5)

由(4)、(5)得 (6)

将(6) 代入(3)得 F k1k2

kx

1 k2

看作一个弹簧 F kx

所以 k k1k2

k

1 k2

因此物体做简谐振动，角频率

k1 x1 k2 x2 x2 k1kx 1 k2

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k1k2k mmk1 k2周期 T 2

2 mk1 k2kk

12

(2) 并接：物体处于平衡位置时，mg k1x0 k2x0 (7) 取平衡位置为坐标原点，向下为正，令物体有位移x 则 F mg k1x1 k2x2

式中x1、x2分别为两弹簧伸长

x1 x0 x x2 x0 x

所以 F mg k1 x0 x k2 x0 x 将(7)代入得 F k1 k2 x

看作一个弹簧 F kx

所以 k k1 k2

因此该系统的运动是简谐振动。

其角频率 kk k

m 12

m

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因此周期 T 2

2 m k1 k2

6-9 在竖直平面内半径为R的一段光滑

圆弧轨道上放一小物体，使其静上于轨道的最

低点，如图所示。若触动小物体，使其沿圆弧

形轨道来回作小幅度运动，试证明：(1)此物体

作谐振动；(2)振动周期T 2 …… 此处隐藏：2896字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……