2.3.1直线与平面垂直的判定

2．3 直线、平面垂直的判定及其性质

2．3.1 直线与平面垂直的判定

工具

必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

栏目导引

直线与平面的垂直

1．假设书有无数页，竖立在桌面上，书脊所在直 线与桌面给人以垂直的印象．

[问题1] 书脊所在直线和各页面与桌面的交线 的位置关系？ [提示] 垂直 [问题2] 书脊所在直线与桌面中任意一条直线 的位置关系？ [提示] 垂直

[问题3] 如果直线l与平面α内的两条直线垂直，则 直线l和平面α互相垂直？ [提示] 如果两条直线平行，不垂直(如图)；如果 两条直线相交，垂直．

一、直线与平面垂直

直线与平面垂直

垂直 所有 如果直线l与平面α内的______直线都______， l⊥α 就说直线l与平面α互相垂直，记作______.直线 定 l叫做平面α的______，平面α叫做直线l的 垂线 义 ______．直线与平面垂直时，它们唯一的公共 垂面 点P叫做______． 垂足

通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边 垂直，如图

画法

文字表述： 一条直线与一个平面内的_________ 两条相

交直线 _________都垂直，则该直线与此平面垂直．

判 符号表述： 定 l⊥a 定 l⊥b 理 a∩b＝A ___________ l⊥α a α _______ b α _______

直线与平面所成的角 2． 如图是比萨著名的斜塔， 把斜塔看成一条直线， 把地面看成平面．

[问题1] 上述中直线与平面有何位置关系？ [提示] 相交 [问题2] 直线与平面也能形成角吗？ [提示] 能 [问题3] 直线与平面形成的角同异面直线所成角 一样都是由空间角转化为平面角吗？ [提示] 能

二、直线与平面所成的角

直线和平面所成的角

平 面 的 一 条 斜 线 和 它 在 平 面 上 的 ______ 所 成 的 角 ____，叫做这条直线和这个平面所成的角． 定 90° 当 直 线 与 平 面 垂 直 时 ， 它 们 所 成 的 角 是 ______. 义 当直线与平面平行或在平面内时 ，它们所成的角是 _____. 0°

射影

范围

0°≤θ≤90°

∠PAO

如 图 ， __________ 就 是 斜 线 AP 与 平 面 α 所 成 的角．

画法

1．判定定理的条件中，“平面内两条相交直线” 是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交 (即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不 能判断直线与平面垂直． 2．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只 需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直 即可．至于这两条直线是否与已知直线有交点，这 是无关紧要的．

1．下列结论中正确的个数是( ) ①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则 l⊥α； ②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则 l⊥α； ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的 直线； ④如果