高中数学_数列通项公式习题精选精讲

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数列通项公式的求法

几种常见的数列的通项公式的求法

一． 观察法

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999， （2）1

14916

,2,3,4, （3）1,2510172

,31,2212, （4）, ,52334

, , 45

解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1， ∴通项公式为：an

10n 1

n22n

（2）an n 2.点评：关键是找出各项与项数n的关系。 ;（3）an ;（4）an ( 1)n 1

n 1n 1n 1

二、公式法

例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；

解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d， ∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，

b3(q 2)22n－1n－1

∴=q，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴b=b·q=4·(－2) n2

b1q

例1.等差数列

an 是递减数列，且a2 a3 a4=48，a2 a3 a4=12，则数列的通项公式是（）

(A)

an 2n 12 (B) an 2n 4 (C) an 2n 12 (D)an 2n 10

解析：设等差数列的公差位d，由已知

(a3 d) a3 (a3 d) 48

，

3a3 12

a3 4解得 ，又 an 是递减数列，∴d 2，a1 8，∴an 8 (n 1)( 2) 2n 10，故选(D)。

d 2

例2.已知等比数列

an 的首项a1 1，公比0 q 1，设数列 bn 的通项为bn

an 2 an 3，又 an 是等比数列，公比为q

an 1 an 2，求数列

bn 的通项公式。

解析：由题意，bn 1

∴

bn 1an 2 an 3 q，故数列 bn 是等比数列，b1 a2 a3 a1q a1q2 q(q 1)，∴bn q(q 1) qn 1 qn(q 1) bnan 1 an 2

点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。 三、 叠加法

例3：已知数列6，9，14，21，30， 求此数列的一个通项。 解易知an an 1 2n 1,

∵a2 a1 3,

a3 a2 5,

2

a4 a3 7,

an an 1 2n 1,

各式相加得an a1 3 5 7 (2n 1)点评：一般地，对于型如an 1例4. 若在数列解析：由an 1

∴an n 5(n N)

an f(n)类的通项公式，只要f(1) f(2) f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。

an 中，a1 3，an 1 an n，求通项an。

an n得an 1 an n，所以an an 1 n 1，an 1 an 2 n 2， ，a2 a1 1，

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将以上各式相加得：an四、叠乘法

例4：在数列｛an｝中，a1=1, (n+1)·an 1=n·an，求an的表达式。 解：由(n+1)·an 1=n·an得例4. 已知数列

a1 (n 1) (n 2) 1，又a1 3所以an=

n(n 1)

32

an 1na

，nann 1a1

=

a2a3a4

a1a2a3

…

1an123n 11

= 所以an

nnnan 1234

an 中，a1 1，前n项和Sn与an的关系是Sn n(2n 1)an，试求通项公式an。

3

解析：首先由Sn n(2n 1)an易求的递推公式：(2n 1)an (2n 3)an 1,

an2n 3 an 12n 1

an 12n 5a1

2 将上面n—1个等式相乘得： an 22n 1a15

an(2n 3)(2n 5)(2n 7) 3 13

a1(2n 1)(2n 1)(2n 3) 7 5(2n 1)(2n 1)

1

an .

(2n 1(2n 1)

点评：一般地，对于型如an 1=f(n)·an类的通项公式，当f(1) f(2) f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。 五、Sn法利用an Sn Sn 1(n≥2)

例5：已知下列两数列{an}的前n项和sn的公式，求{an}的通项公式。（1）S解：（1）a1

n

2

（2）sn n 1 n3 n 1。

S1 1 1 1an=Sn Sn 1=(n3 n 1) (n 1)3 (n 1) 1

2 S1。∴an=3n2 3n 2为所求数列的通项公式。

=3n

2

3n 2

此时，a1（2）a1

s1 0，当n 2时an sn sn 1 (n2 1) [(n 1)2 1] 2n 1

0

2n 1

(n 1)(n 2)

由于a1不适合于此等式。∴an点评：要先分n=1和n六、待定系数法：

2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

例6：设数列{cn}的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn

a b 2 q 2 a d bq 4 d 1 n 1

解：设cn a (n 1)d bq cn n 2n 1 2

a 2d bq 7 b 1 a 3d bq3 12 a 1

bb

例6.已知数列 cn 中，c1 ，cn b cn 1 ，

1 b1 b

其中b是与n无关的常数，且b 1。求出用n和b表示的an的关系式。

解析：递推公式一定可表示为

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cn b(cn 1 )的形式。由待定系数法知： b

b 1 b

b 1,

bbb

, c b(c )nn 1222

1 b1 b1 b

bb2bn 1n 1

cn b 2

bb2b 1 b2b2 1b 1

故数列 cn 是首项为，公比为的等比数列，故 c b1222 n 1

1 bb 11 bb b

cn 2

b 1

点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列{an}为等差数列：则an

n 1n

，若数列{an}为等比数列，则an Aq，sn Aq A(Aq 0,q 1)。 sn bn2 cn（b、ｃ为常数）

bn c，

七、辅助数列法

例7：已知数{an}的递推关系为an 1解：∵an 1

∴bn

2an 1，且a1 1求通项an。

2an 1∴an 1 1 2(an 1)令bn an 1则辅助数列{bn}是公比为2的等比数列 b1qn 1即an 1 (a1 1)qn 1 2n∴an 2n 1

在数列

例5.

an 中，a1 1，a2 2，an 2 2an 1 1an，求an。

3

3

211

an 1 an两边减去an 1，得an 2 an 1 (an 1 an) 333

11n 1

∴ an 1 an 是以a2 a1 1为首项，以 为公比的等比数列，∴an 1 an ( )，由累加法得

33

11 ( )n 1

111=3[1 ( 1)n 1] 1= 7 3( 1)n 1

an=(an an 1) (an 1 an 2) (a2 a1) a1 =( )n 2 ( )n 3 ( ) 1 1=

1333434431 3

解析：在an 2

例8：已知数列｛an｝中a1 1且an 1

an

（n N），求数列的通项公式。

an 1

，

解：∵an 1

ana 1111

n 1，设bn ∴

an 1an 1ananan

，则bn 1 bn 1

故｛bn｝是以b1

111

1为首项，1为公差的等差数列∴bn 1 (n 1) n∴an

bnna1

点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。 利用递推关系求数列通项的九种类型及解法 1.形如an 1

an f(n)型

an d,此时数列为等差数列，则an=a1 (n 1)d.

（1）若f(n)为常数,即：an 1

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（2）若f(n)为n的函数时，用累加法. 方法如下： 由 an 1

an f(n)得：

n 2时，an an 1 f(n 1)，

an 1 an 2 f(n 2)，

a3 a2 f(2)

a2 a1 f(1)

所以各式相加得 an

a1 f(n 1) f(n 2) f(2) f(1)

n 1

即：an

a1 f(k).

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