工科数学分析Green公式

Green 公式及其应用单(复)连通区域及其正向边界 若区域(D)内任意一条简单闭曲线的内部全部

属于(D),或者说(D)内任一闭曲线均可在(D)内连续变形缩小成(D)内的一点,则称(D)是一

单连通域,否则称为复连通域。D D

单连通区域

复连通区域

单连通区域就是没有“洞”的区域.

定理1(Green 公式)

设平面有界闭域 由分段光滑的简单曲线 D 所 围成, D的边界曲线为 , 函数P , Q C 1 D , L 则下述Green公式成立 Q P x y d P x , y dx Q x , y dy D L 其中曲线积分沿 的正向. LGreen 公式是英国数学家、物理学家格林 George Green (1793-1841) 在1825年发现的, 是微积分基本公式在二重积分情形下的推广.

直线与 的边界 的交点至 D L 证:(1)若任一平行于坐标轴的 多只有两个除L可能含有平行于坐标轴 ( 的直线段外 ),b y2 ( x ) P P 则 dxdy dx dy a y1 ( x ) y y D

y L2 : y y2 ( x)D

[ P ( x , y 2 ( x )) P ( x , y1 ( x ))]dxa

b

又

Pdx Pdx PdxL L1 L2 b a a b b

O

a

L1 : y y1 ( x)

b x

P ( x , y1 ( x ))dx P ( x , y 2 ( x ))dx

P [ P ( x , y1 ( x )) P ( x , y 2 ( x ))]dx LPdx dxdy a y D

Q 同 样 : Qdy dxdy L x D Q P Pdx Qdy ( )dxdy L x y D

( 2).对 一 般 的 区 域 , 可 用 辅 助 线 把 区 域化 为 几 个 小 D D 区 域, 使 每 个 小 区 域 满 足), 则 在 每 个 小 区 域 上 (1 , Green 公 式 成 立然 后 相 加辅 助 线 上 的 两 个 积 分 向 相 反 , , 方 , L1 y 恰好抵消 . D1 Q P 如 : ( )dxdy ( ) Pdx Qdy L L B A x y D D2 Pdx Qdy Pdx Qdy L L L2 o Q P ( x y )dxdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy D1 AB 1 1 AB 2 BA 2

x

Q P ( )dxdy x y D L1 L2

yL

L1 L2

Pdx Qdy Pdx Qdy

对 有" 洞"的 区 域 类 似 可 证 , . Q P ( x y )dxdy ( L1 L2 ) Pdx Qdy o D

x

注 1. D 的 面 积 dxdyD

1 2 L xdy ydx (取P y , Q x ) xdy (取P 0, Q x ) L ydx (取P y , Q 0) L

2.Green公式的记法：

C

Q P y x y Q Q P Pdx Qdy ( )dxdy x y D

x P

D

x P

y dxdy Q

例 1 计 算 曲 线 积 分 I L ( 2 xy 2 y )dx ( x 4 x )dy ,2

其 中 L 为 x y 4, 顺 时 针 .2 2

yL

解 P 2 xy 2 y, Q x 2 4 x Q P 2 x 4 2 x 2 2 x yD D

o

x

由Green定理, I ( 2)dxdy 2 dxdy 8

例 2 计算

eD

y2

dxdy , D : 以O(0,0), A (1, 1), B (0, 1)y

为顶点的三角形区域 .

解 令P 0, Q xe

y2

,则

B

A

Q P y2 e x y

o y2

x

eD

y2

dxdy y2

OA AB BO

xe

dy

xeOA

dy

1

0

xe

x2

1 1 dx (1 e ) 2

例 3 计 算 I (e sin y y )dx (e cos y e )dy , Lx x y2

L : y sin x由 点 A ( ,0) 到 O(0,0) .

解 P e si n y y, Q e cos y ex x

y2

P Q Q P x x e cos y 1, e cos y , 1 y x x yD : L和 线 段OA 围 成 的 区 域 , OA : y 0, x : 0

yD

由Green公 式 得:

dxdy dx dy I 2 (e si n y y )dx (eOA

I

sin x

ocos y ey2

A

x,

0

0

D

x

0 x

si n xdx 2

OA

)dy

2 0dx 20

设(1) L : x 2 y 2 a 2 (a 0), 逆 时 针 ； 例4 ( 2) L 为 一 条 逐 段 光 滑 过 原 点 的 正 向 简 单 ,不 xdy ydx 闭 曲 线 计 算 积 分I , . 2 2 L x y

解

y x P( x, y) 2 , Q( x , y ) 2 2 x y x y2 当 ( x , y ) ( 0,0)时 Q P y2 x2 x y ( x 2 y 2 )2

(1) 法1 L : x 2 y 2 a 2 , 或 L : x a cos , y a sin , : 0 2 I

2

0

a cos a cos a sin ( a sin ) d 2 2 a

xdy ydx 1 法2 I 2 xdy ydx 2 2 L x y a L Green公 式 1 2 2 2dxdy a 2 a 2 2 a x 2 y 2 a 2内 有 一阶 连 续 偏导 数 Green公 式 :I ,由

(2) (a )当 (0,0)在 L 外 部 时 P , Q在 L 及 L 围 成 的区 域 ,

0L

(b). 若O(0,0)在L内, 则P , Q在O(0,0)处没有一阶连续 偏导数 不满足 , Green定理的条件 .作一以 为圆心 为半径的 O , 圆L , L 取 顺 时 针 方 向 ， 取 适 当 小 使L 在L围 成 的 区 域 内 ,y

L

o

x

D : L与L 围成的区域环域) (

yL

L

由Green公 式, 得 : xdy ydx I 0 2 2 L x yL

o

x

I (1)

xdy ydx 2 2 x y

L

xdy ydx x2 y2

2

xdy ydx I , 其 中L是 以 点 例5 计 算 曲 线 积 分 L 2 2 4x y (1,0)为 中 心 R为 半 径 的 圆 周 1), 取 逆 时 针 方 向 , (R .

解：由被积函数的分母可知 , 若能将积分路径 改为 L Q y2 4x 2 P 由于 , ( x, y ) (0,0) 2 2 x (4 x y ) y

椭圆 4 x 2 y 2 a 2 (a为某个正数 则可简化计算 ),

取足够小椭圆

l : 4x y a ,2 2 2

使得l 位于L内部。

l 取顺时针方向。

由Green 定理可知，

L l

xdy ydx 0, 2 2 4x y

xdy ydx xdy ydx I 2 2 L 4x y l 4 x 2 y 2 1 a l 2 2 ( l所围的椭圆区域的面积) a2

xdy ydx

2 a

π 2 π. 2 a2

例6 质点 M 在变力F的作用下，沿着以AB 为直径的半圆周从点A(, 1 2 )运动到点 B(3,4), F的大小等于点M与原 点的距离，其方向垂直 于线段 OM且与y轴正向的夹角小于 , 2 求变力F 对质点 M 所作的功.

y

F

B M x

Ao

解 M ( x, y )F

OM { x, y}x2 y2

1 { y , x } x2 y2D

{ y , x }

W L ( ydx xdy ) 2dxdy BA ydx xdy1 1 2 2 ( 2 ) ( x 1 x )dx 2 2 3 2

平面曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关是指： 对任意两条以A为起点, B为终点的曲线L1,L2, 均有:

L1

Pdx Qdy

L2

Pdx Qdy