线性代数期末考试试卷

本科生2010——2011学年第 一 学期《线性代数》课程期末考试试卷（B 卷） 草 稿 区

专业： 年级： 学号： 姓名： 成绩：

一 、选择题（本题共 28 分，每小题 4 分）

1．设n 阶方阵A 为实对称矩阵，则下列哪种说法是错误的

( B ) (A) A 的特征值为实数；

(B) A 相似于一个对角阵；

(C) A 合同于一个对角阵；

(D) A 的所有特征向量两两正交。

2．设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关，则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充要条件是

( D ) (A)向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示；

(B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示；

(C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价；

(D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价。

3．设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，则

( C ) (A) *A 为可逆矩阵； (B) 若0||=A ，则0||*=A ；

(C) 若2)(*-=n A r ，则2)(=A r ； (D) 若0||≠=d A ，则d A 1

||*=。

4．设A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，30A =则

( ) (A)()E A -不可逆，()E A +不可逆； (B) ()E A -不可逆，()E A +可逆；

(C) ()E A -可逆，()E A +可逆； (D) ()E A -可逆，()E A +不可逆.

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5．实数二次型T f X AX =为正定二次型的充分必要条件是 ( )

(A) 负惯性指数全为零； (B) ||0A >；

(C) 对于任意的0X ≠，都有0f >； (D) 存在n 阶矩阵U ，使得T A U U =.

6．设12,λλ为A 的不同特征值，对应特征向量为12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充要条件为 ( )

(A)10λ≠； (B) 20λ≠；

(C) 10λ=； (D) 20λ=.

7．设211100

121,010112000A B --????

? ?=--= ? ? ? ?--????

，则 (

) (A) A 与B 合同，但不相似；(B) A 与B 相似，但不合同；

(C) A 与B 既合同又相似； (D) A 与B 既不合同也不相似.

二 、填空题（本题共 24分，每小题 4 分）

1．二次型2

2

2

1231231213(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则t 的取值范围是 .

2．设010000100

0010000A ??

?

?= ? ???

，则3A 的秩3()r A 为 . 3．设三阶矩阵A 的特征值为,2,3λ，若|2|48A =-，则λ= .

4．设向量123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)T T

T a ααα=-==，若123,,ααα构成的向量组的秩为2， 则a = .

5．设3阶矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，且已知||1A =，则||B = . 第 2页，共 6 页

6．已知A与B相似，

1

1

B

??

?

=-

?

?

??

，则A E

+为矩阵.

（填“正定”、“半正定”、“负定”、“不定”之一）

三、计算题（本题共38分）

1．(9分)设

211

121

112

A

??

?

= ?

?

??

，

1

12

B A

=，求1

A-.

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2．(9分)计算对称矩阵

1231

21221

32132

12312

1221

n n

n n

n n

n n n

n n n

-

??

?

--

?

?

--

?

?

?

---

?

?

--

??

的行列式的值. 草稿区

3．(10分)已知矩阵

11

010,1

111

d e

A d b

d

????

? ?

=-=

? ?

? ?

????

，且方程组AX b

=存在两个不同的解；

(i)求,d e的值；

(ii)求AX b

=之通解。

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草 稿 区

4．(10分)设A 为三阶方阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量

3α满足323A ααα=+ （I ）证明：123,,ααα线性无关；（II ）令123(,,)P ααα=，求1P AP -.

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四 、证明题（本题共10分） 草 稿 区

1．(5分)证明：实数二次型T f X AX =在2(,)||1X X X ==时的最大值为矩阵A 的最大特征值。

.

2．(5分)设A 是n 阶实对称矩阵，证明：

A 的属于不同特征值的特征向量相互正交。

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