2012届高考调研数学(文)一轮复习课件解三角形：正、余弦定理应用

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第2课时

正、余弦定理应用举例

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考纲下载能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何 计算有关的实际问题.

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请注意!通过三角形解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.近几年高考中， 以三角形为背景进行三角函数的求值、判断三角形的形状和实际应用问题 等类型的题目逐渐增多.如：2010年辽宁卷17题，福建卷18题等.

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课前自助餐课本导读

1.正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高 度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.

2.实际问题中的常用角

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(1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下 方的角叫俯角(如图①).

(2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α (如②). (3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.

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教材回归1.在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30 m

至点C处测得顶端A的仰角为2θ,再继续前进10 3 m至D点，测得顶端A的 仰角为4θ.则θ的值为( A.15° C.5° ) B.10° D.20°

答案

A

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解析

如图所示，由已知AE=30·sin2,AE=

10 3 ·sin4θ,所以30·sin2θ=10 3 ·sin4θ,所以 cos2θ= 3 ,因为2∈(0°,90°),所以2θ=30°,所 2

以θ=15.

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2.(2011· 《高考调研》原创题)如图，在2011年6月““舟曲特大泥石 流””灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处发现 一个生命迹象，然后向右转105°,行进10m到达O处发现另一生命迹象， 这时它它向右转135°后继续前进可回到出发点，那么x=________.

答案

10 6 3

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解析 ∵∠BOA=45°,∠A=180°-75°-45°=60° x 10 ∴ = , sin45° sin60° 10 6 ∴x= . 3

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3.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸 边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后， 就可以计算出A、B两点的距离

为(A.50 2m C.25 2m B.50 3m 25 2 D. m 2

)

答案

A

解析

AB AC 由正弦定理得 = , sinB sin∠ACB

2 50× AC·sin∠ACB 2 AB= = =50 2(m). sinB 1 2高三数学(人教版)

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授人以渔题型一 测量距离问题

例1 如图所示，为了测量河对岸A,B两点间的距离，在这一岸定一基线 CD,现已测出CD=a和∠ACD=60°,∠BCD=30°,∠BDC=105°,∠ADC=60 °,试求AB的长. 【解析】 在△ACD中，已知CD=a,∠ACD=60°,∠ADC=60°,所以AC =a.① 在△BCD中，由正弦定理可得 asin105° 3+1 BC= = a.② 2 sin45°

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在△ABC中，已经求得AC和BC,又因为∠ACB=30°, 所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为 2 AB= AC +BC -2AC·BC·cos30°= a. 22 2

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探究1

这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理

和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解.注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的 三角形及正、余弦定理要恰当.

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思考题1 选取相距

隔河看两目标A与B,但不能到达，在岸边先

3 千米的C、D两点，同时测得∠ACB=75°,∠

BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A、B、C、D在同 一平面内),求两目标A、B之间的距离. 【解析】 如图所示，

在△ACD中，∵∠ADC=30°,∠ACD=120°, ∴∠CAD=30°, ∴AC=CD= 3.

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在△BCD中， ∠CBD=180°-45°-75°=60°. 3sin75° 6+ 2 由正弦定理，可得BC= = . 2 sin60° 在△ABC中，由余弦定理，可得 AB =AC +BC -2AC·BC·cos∠BCA, 6+ 2 2 6+ 2 即AB =( 3) +( ) -2 3× cos75°=5, 2 22 2 2 2 2

∴AB= 5(千米). 所以两目标A、B之间的距离为 5千米.

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在△BCD中， ∠CBD=180°-45°-75°=60°. 由正弦定理，可得BC= 3sin75° 6+ 2 = . 2 sin60°

在△ABC中，由余弦定理，可得 AB =AC +BC -2AC·BC·cos∠BCA, 6+ 2 2 6+ 2 即AB =( 3) +( ) -2 3× cos75°=5, 2 22 2 2 2 2

∴AB= 5(千米). 所以两目标A、B之间的距离为 5千米.

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