高中数学函数知识点总结(经典收藏)

数学

高中数学函数知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：集合A x|y lgx ，B y|y lgx ，C (x,y)|y lgx ，A、B、C 中元素各表示什么？

A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹

2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合A

x|x

2

2x 3 0，B x|ax 1

若B A，则实数a的值构成的集合为

（答： 1，0，

1

） 3

显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

3. 注意下列性质：

n

（1）集合 a1，a2， ，an 的所有子集的个数是2；

要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2, a3, an,都有2种选择，所以，总共有2种选择， 即集合A有2个子集。

当然，我们也要注意到，这2种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2 1，非空真子集个数为2 2

n

n

n

nn

（2）若A B A B A，A B B；

（3）德摩根定律：

CU A B CUA CUB ，CU A B CUA CUB

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式的取值范围。

（∵3 M，∴

a·3 53

2

ax 5x a

2

0的解集为M，若3 M且5 M，求实数a

a

0

5

a 1， 9，25 ） 3

0

∵5 M，∴

a·5 55

2

a

注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在( ,1)上

数学

单调递减，在(1, )上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程 的2个根 5、熟悉命题的几种形式、

可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”( )，“且”( )和“非”( ).

若p q为真，当且仅当p、q均为真

若p q为真，当且仅当p、q至少有一个为真 若 p为真，当且仅当p为假 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）

A {x|x满足条件p}，B {x|x满足条件q}，

若 ；则p是q的充分非必要条件 A_____B； 若 ；则p是q的必要非充分条件 A_____B；

若 ；则p是q的充要条件 A_____B；

若 ；则p是q的既非充分又非必要条件 __________应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。 如：若A {1,2,3,4}，B {a,b,c}；问：A到B的映射有 个，B到A的映射有 个；A到

_；

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对

B的函数有个，若A {1,2,3}，则A到B的一一映射有个。

函数y (x)的图象与直线x a交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y

函数定义域求法：

x 4 x lg x 3

2

的定义域是 （答：0，2 2，3 3，4）

分式中的分母不为零；

偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一；

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数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

正切函数y tanx x R,且x k

对

,k 2

余切函数y cotx x R,且x k ,k 反三角函数的定义域

函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，

值域是，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，

函数y＝arctgx的定义域是 R

，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，b a 0，则函数F(x) f(x) f( x)的定 义域是_____________。 （答：a， a）

复合函数定义域的求法：已知y f(x)的定义域为 m,n ，求y f g(x) 的定义域，可由m g(x) n解出x的范围，即为y f g(x) 的定义域。

例 若函数y f(x)的定义域为

1

，则f(log 2,2

2

x)的定义域为。

分析：由函数y f(x)的定义域为

1 1

x 2；所以y f(log可知：x)中有,22 2 2

12

log2x 2。

解：依题意知：

12

log2x 2

解之，得 ∴ f(log

2 x 4

2

x)的定义域为x|

2 x 4

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

1x

的值域

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例、求函数y=x-2x+5，x [-1，2]的值域。 3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

a. y b. y

bk+xx

2

2

2

型：直接用不等式性质bx

型,先化简，再用均值不等式

1x+

1x

12

mx n

x1+x

2

例：y

c.. y d. y

xx

22

m x n mx nx n mx n

x

2

型 通常用判别式

型

法一：用判别式

法二：用换元法，把分母替换掉 例：y

x

2

x 1x 1（x+1） （x+1）+1 1

（x+1） 1 2 1 1

x 1x 1

2

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数y=

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

3x 45x 6

值域。

例 求函数y=

e 1e 1

e

x

x

，y

2sin 11 sin

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