2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.3.2

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.3.2含答案整理

4.3.2 空间两点间的距离公式 学习目标 1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离．

知识点 空间两点间的距离公式

思考 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则其对角线AC 1的长等于多少？

答案 a 2＋b 2＋c 2.

梳理 (1)在空间直角坐标系Oxyz 中，任意一点P (x ，y ，z )与原点间的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2.

(2)空间中P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2

.

类型一 求空间两点间的距离

例1 如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，|AN |＝2|CN |，|BM |＝2|MC ′|，求|MN |的长．

解 建立如图所示空间直角坐标系，过M 作MF 垂直BC 于F ，连接NF ，显然MF 垂直于平面ABCD ，

所以MF ⊥NF ，

因为|BM |＝2|MC ′|，所以|BF |＝2|FC |.

又|AN |＝2|CN |，所以NF ∥AB ，

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.3.2含答案整理

所以|NF |＝|FC |＝13|AB |＝a 3

， 同理|MF |＝23|CC ′|＝2a 3

， 因此，点N 的坐标为????a 3，2a 3，0，点M 的坐标为????a 3

，a ，2a 3， 所以|MN |＝????a 3－a 32＋????2a 3－a 2＋????0－2a 32＝53

a . 反思与感悟 在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用．如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用．

跟踪训练1 如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，|C 1C

|＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，

B 1

C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．

解 以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2， ∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)，由中点坐标公式，可得

D (1,1,0)，

E (0,1,2)，

F (1,0,0)，

∴|DE |＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5，

|EF |＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝ 6.

类型二 求空间点的坐标

例2 已知点A (4,5,6)，B (－5,0,10)，在z 轴上有一点P ，使|P A |＝|PB |，则点P 的坐标为_____． 答案 (0,0,6)

解析 设P (0,0，z )，由|P A |＝|PB |，得

(4－0)2＋(5－0)2＋(6－z )2＝(－5－0)2＋(0－0)2＋(10－z )2，

解得z ＝6.

∴点P 的坐标为(0,0,6)．

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.3.2含答案整理

引申探究

1．若本例中已知条件不变，问能否在z 轴上找一点P ，使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形？

解 与例2的结论一样，P (0,0,6)．

2．若本例中“在z 轴上”改为“在y 轴上”，其他条件不变，结论又如何？

解 设P (0，y,0)，由|P A |＝|PB |，得

(4－0)2＋(5－y )2＋(6－0)2＝(－5－0)2＋(0－y )2＋(10－0)2，

解得y ＝－245

. ∴点P 的坐标为(0，－245

，0)． 反思与感悟 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．

(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．

跟踪训练2 设点P 在x 轴上，使它到点P 1(0，2，3)的距离是到点P 2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P 的坐标．

解 因为P 在x 轴上，所以设P 点坐标为(x,0,0)．

因为|PP 1|＝2|PP 2|， 所以(x －0)2＋(0－2)2＋(0－3)2＝2(x －0)2＋(0－1)2＋(0＋1)2，

所以x ＝±1，所以点P 的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．

类型三 空间两点间距离公式的应用

例3 已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若|CM |＝|BN |＝a (0＜a ＜ 2)．

(1)求|MN |的长；

(2)当a 为何值时，|MN |的长最小．

解 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，

平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，

∴BE ⊥平面ABCD ，∴AB 、BC 、BE 两两垂直．

过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，连接NG ，易证NG ⊥AB .

∵|CM |＝|BN |＝a ，

∴|CH |＝|MH |＝|BG |＝|GN |＝22

a ， ∴以B 为原点，以BA 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.3.2含答案整理

则M ????22a ，0，1－22a ，N ???

?22a ，22a ，0. (1)|MN |＝????22a －22a 2＋????0－22a 2＋???

?1－22a －02 ＝a 2－2a ＋1＝

????a －222＋12. (2)由(1)得当a ＝22时，|MN |最短，最短为22

，这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点． 反思与感悟 距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值． 跟踪训练3 如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，

点P 在正方体的体对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．当点P 为体对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，求|PQ |的最小值．

解 建立如图所示的空间直角坐标系，则P (12，12，12

)．

∵Q 点在CD 上，∴设Q (0,1，z )，z ∈[0,1]，

∴|PQ |＝(12－0)2＋(12－1)

2＋(12－z )2＝12＋(12－z )2，∴当z ＝12时，|PQ |min ＝22

.

1．坐标原点到下列各点距离最大的点是( )

A ．(1,1,1)

B ．(1,2,2)

C ．(2，－3,5)

D ．(3,0,4) 答案 C

2．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )

A ．－3或4

B ．6或2

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.3.2含答案整理

C ．3或－4

D ．6或－2

答案 D 解析 由空间两点间的距离公式，得

(x －2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝26，

解得x ＝6或x ＝－2.

3．已知三角形的三个顶点A (2，－1,4)，B (3,2，－6)，C (5,0,2)，则过A 点的中线长为( ) A.11 B ．211 C ．11 2 D ．311

答案 B

解析 ∵BC 的中点坐标为(4,1，－2)，

∴过A 点的中线长为(4－2)2＋(1＋1)2＋(－2－4)2＝211.

4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为(

)

A.2a

B.22a C ．a D.12

a 答案 B

解析 ∵A ′(a,0，a )，C (0，a,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，

∴E 点坐标为(a 2，a 2，a 2)，F 点坐标为(a ，a 2

，0)， ∴|EF |＝a 24＋02＋a 24＝22a . 5 …… 此处隐藏：6157字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……