【推荐】2019高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末小结知识

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1 第三章 数系的扩充与复数的引入

[对应学生用书P46]

1．虚数单位i

(1)i 2＝－1(即－1的平方根是±i)．

(2)实数可以与i 进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立．

(3)i 的幂具有周期性：i 4n ＝1，i

4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)，则有i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *

)． 2．复数的分类

复数

(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R )??? 实数

b

＝虚数b

????? 纯虚数a ＝0，

b 非纯虚数a ≠0，b .

3．共轭复数的性质 设复数z 的共轭复数为z ，则

(1)z ·z ＝|z |2＝|z |2

；

(2)z 为实数?z ＝z ，z 为纯虚数?z ＝－z .

4．复数的几何意义

5．复数相等的条件

(1)代数形式：复数相等的充要条件为a ＋b i ＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )?a ＝c ，b ＝d .特

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2 别地，a ＋b i ＝0(a ，b ∈R )?a ＝b ＝0.

注意：两复数不是实数时，不能比较大小．

(2)几何形式：z 1，z 2∈C ，z 1＝z 2?对应点Z 1，Z 2重合?1OZ 与2OZ 重合．

6．复数的运算

(1)加法和减法运算：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i(a ，b ，c ，d ∈R )．

(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．

[对应学生用书P65]

(时间：120分钟，总分：160分)

一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)

1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝________.

解析：∵z 1＝2＋i 在复平面内对应点(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，

则z 2的对应点为(－2,1)，则z 2＝－2＋i ，

∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.

答案：－5

2．(山东高考改编)若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝________. 解析：根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.

答案：3＋4i

3．若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为________．

解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，

∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝＋－＋＝3＋4i 5＝35＋45i ， ∴z 的虚部是45

. 答案：45

4．已知m

1＋i ＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 等于________．

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3 解析：m

1＋i ＝1－n i ，所以m ＝(1＋n )＋(1－n )i ， 因为m ，n ∈R ，

所以????? 1－n ＝0，1＋n ＝m ，所以????? n ＝

1，

m ＝2，

即m ＋n i ＝2＋i.

答案：2＋i

5．定义运算??????

a b c d ＝ad －bc ，则满足条件??????

1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为________．

解析：??????

1 －1z z i ＝z i ＋z ，

设z ＝x ＋y i ，

∴z i ＋z ＝x i －y ＋x ＋y i ＝x －y ＋(x ＋y )i ＝4＋2i ， ∴????? x －y ＝4，x ＋y ＝2，∴????? x ＝3，

y ＝－1.

∴z ＝3－i.

答案：3－i

6．在复平面内，复数2－i

1＋i 对应的点位于第________象限．

解析：2－i 1＋i ＝－－＋－＝1－3i 12＋12＝12－32i ， 对应的点位于第四象限．

答案：四 7.＋2＋＝________. 解析：＋2＋＝＋

－1＋2i ＝＋－1－－2＋22

＝1－38i.

答案：1－38i

8．设a 是实数，且a

1＋i ＋1＋i 2是实数，则a 等于________．

解析：∵a 1＋i ＋1＋i 2＝a －2＋1＋i 2＝? ????a 2＋12＋－a 2i 是实数，

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4 ∴1－a 2

＝0，即a ＝1. 答案：1

9．复数z 满足方程????

??z ＋21＋i ＝4，那么复数z 的对应点P 组成图形为________． 解析：????

??z ＋21＋i ＝|z ＋(1－i)|＝|z －(－1＋i)|＝4. 设－1＋i 对应的点为C (－1,1)，则|PC |＝4，

因此动点P 的轨迹是以C (－1,1)为圆心，4为半径的圆．

答案：以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆

10．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝________. 解析：由M ∩N ＝{4}，知4∈M ，

故z i ＝4，∴z ＝4i

＝－4i. 答案：－4i

11．若复数z 满足|z |－z ＝101－2i

，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，

∴|z |－z ＝a 2＋b 2－(a －b i)＝a 2＋b 2－a ＋b i ，

101－2i ＝

＋－＋＝＋

12＋22＝2＋4i ，

∴??? a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4，

解得????? a ＝3，b ＝4.

∴z ＝3＋4i.

答案：3＋4i 12．若OA ＝3i ＋4，OB ＝－1－i ，i 是虚数单位，则AB ＝________.(用复数代数形式表示)

解析：由于OA ＝3i ＋4，OB ＝－1－i ，i 是虚数单位，

所以AB ＝OB －OA ＝(－1－i)－(3i ＋4)＝－5－4i.

答案：－5－4i

13．复数z 满足|z ＋1|＋|z －1|＝2，则|z ＋i ＋1|的最小值是________．

解析：由|z ＋1|＋|z －1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z 对应的点到两点(－

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5 1,0)和(1,0)的距离和为2，说明该点在线段y ＝0(x ∈[－1,1])上，而|z ＋i ＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.

答案：1

14．已知关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)＝0有实根，则纯虚数m 的值是________． 解析：方程有实根，不妨设其一根为x 0，设m ＝a i 代入方程得x 20＋(1＋2i)x 0－(3a i －

1)i ＝0，

化简得，(2x 0＋1)i ＋x 20＋x 0＋3a ＝0，

∴????? 2x 0＋1＝0，x 20＋x 0＋3a ＝0，

解得a ＝112，∴m ＝112

i. 答案：112

i 二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分14分)计算： (1)＋－21－2i

；(2)4＋5i －－. 解：(1)＋－21－2i ＝＋

－1－2i ＝－1－2i ＝2.

(2)4＋5i －－＝

－

5－－ ＝i 1－i ＝＋－＋

＝i －12 ＝－12＋12

i. 16．(本小题满分14分)求实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2

－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是：

(1)实数；

(2)虚数；

(3)纯虚数；

(4)零．

解：由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i.

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6 (1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，

∴k ＝6或k ＝－1.

(2)当k …… 此处隐藏：3370字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……