极值条件法在粘滞阻尼结构运动方程中的应用探讨

本文在自由结构体系和刚性结构体系两个边界条件假设的基础上,阐述了一种求解粘滞阻尼减震结构运动方程的极值条件法,针对该方法的求解过程给出了详细的推导步骤,并对其结果进行了简化分析。算例对比分析结果表明,该方法对运动方程的求解具有良好的效果。

极值条件法在粘滞阻尼结构运动方程中的应用探讨1

汪大洋

广州大学土木工程学院，广东广州（510006）

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摘 要：本文在自由结构体系和刚性结构体系两个边界条件假设的基础上，阐述了一种求解粘滞阻尼减震结构运动方程的极值条件法，针对该方法的求解过程给出了详细的推导步骤，并对其结果进行了简化分析。算例对比分析结果表明，该方法对运动方程的求解具有良好的效果。

关键词：粘滞阻尼结构，边界条件，极值条件法，简化分析 中图分类号：TU352.1，O328

1. 引言

对于设置粘滞阻尼器的结构体系运动方程的求解，其关键之处在于阻尼矩阵的处理，因为在结构中设置阻尼器后，减震结构的阻尼矩阵已不再是比例阻尼矩阵，不满足振型正交性条件。文献[1,2]基于“强迫振型分解”理论对运动方程进行强行解耦，将其等效为n个单自由度的微分方程，然后利用模态叠加的方法求解。文献[3]采用复模态分析理论对结构非正交阻尼进行解耦，从而得出基于反应谱理论的复模态抗震分析与设计方法。

本文在参阅相关文献[4-8]的基础上，给出了一种求解粘滞阻尼减震结构运动方程的极值条件法，该方法以自由结构体系（结构中未设置粘滞阻尼器）和刚性结构体系（结构中设置粘滞阻尼器，但其阻尼系数趋于无穷大）两个边界条件假设为前提，利用二者特征向量的线性组合表达实际减震结构的特征向量，并通过迭代方法或简化的非迭代方法求解，计算过程简单直观，计算结果精度高。

2. 极值边界条件假设

对于具有n个自由度的粘滞阻尼结构体系，其自由振动的运动方程可表示为：

&&+Cx&+Kx=0 （1） Mx

&和&&分别为结构的位移、速度和加速度x式中：M、K结构的质量和刚度矩阵；x、x

向量；C为结构的总阻尼矩阵，可用下式表达[9,10]：

C=C′+∑did=C′+∑cidi′di′T （2）

Ti

i=1

i=1

ss

式中：di表示第i个阻尼器的阻尼系数和位置向量；di′表示第i个阻尼器的位置和方向向量；ci为第i个阻尼器的阻尼系数；s为结构中设置阻尼器的总个数；C′为主体结构的阻尼矩阵[11]：

C′=αM+βK （3）

式中：α、β均为常数。

为了求解式（1），令x=Re(φe)，Re表示实部，将其代入式（1）中可得：

iωt

(K+iωC ωM)φ=0 （4）

2

1

本课题得到建设部科技项目(项目编号：06-K6-11)和广州市属高校科技计划项目(项目编号：2046)的资助。

本文在自由结构体系和刚性结构体系两个边界条件假设的基础上,阐述了一种求解粘滞阻尼减震结构运动方程的极值条件法,针对该方法的求解过程给出了详细的推导步骤,并对其结果进行了简化分析。算例对比分析结果表明,该方法对运动方程的求解具有良好的效果。

令K+iωC ωM＝0，则可求得复特征频率ωk，将ωk代入式（4）即可得到相应的复特征向量φk。所以，如何求解结构的特征频率和特征向量成为本文的关键。为此，考虑两种极值边界条件假设：一种认为设置在结构中的阻尼器的阻尼系数ci→0，即为无阻尼结构体系（称为自由结构体系）；另一种认为ci→∞，此时设置的阻尼器相当于一个刚性杆，完全约束阻尼器所在层的结构变形，因此称之为刚性结构体系。

2

2.1自由结构体系

对于自由结构体系（如图1（a）所示），认为结构中的阻尼系数矩阵C为零，式（4） 可化为：

(K ωM)φ

2

2

=0 （5）

令K ω0M=0可求得自由结构体系的特征频率ω0k（实数），进而求得相应的特征向量φ0k。由文献[11]可知，结构体系满足振型正交性和规格化条件：

1

φMφ0l=

0

T

0k

2 ωk0

φ0TkKφ0l=

0

(l=k)

（6）

(l≠k)

(l=k)

（7）

(l≠k)

2.2刚性结构体系

对于刚性结构体系，由于阻尼系数ci→∞，阻尼器表现出刚性杆特性，即认为阻尼 器所在层不发生任何变形，即x2=x3，如图1（b）所示。此时若令刚性杆的内力向量为F∞k，式（4）即可化为：

(K′ ω

2∞k

M)φ∞k+F∞k=0 （8）

′→∞。 式中：K′为刚性结构体系的刚度矩阵，K′中对应于阻尼器所在层的元素Kij

本文在自由结构体系和刚性结构体系两个边界条件假设的基础上,阐述了一种求解粘滞阻尼减震结构运动方程的极值条件法,针对该方法的求解过程给出了详细的推导步骤,并对其结果进行了简化分析。算例对比分析结果表明,该方法对运动方程的求解具有良好的效果。

x3

k3

x2

k2

x1

k1

k1k3

x3x2

c

k2→∞

x1=x2x1

（a） （b） （a）自由结构体系 （b）刚性结构体系

图1 两种极值边界结构体系

Fig.1 Two kinds of structure systems with extreme value condition

对于设置阻尼系数ci→∞的楼层，第k振型的约束边界方程为：

T

′φ∞kdi=0

(i=1,2,Ls) （9）

Cφ∞k=0 （10）

将式（8）的左右两边同时左乘φ∞k，并引入式（9）的边界条件有：

T2T′φ∞kKφ∞k=ω∞kφ∞kMφ∞k （11）

T

则同理可得：

1φMφ∞l=

0

T

∞k

(l=k)

（12）

(l≠k)

(l=k)

（13）

(l≠k)

2 ω∞k T

′φ∞Kφ= ∞lk

0

3. 运动方程求解

为了求解式（4），本文引用上述两个边界条件的线性组合来表达特征向量φk（这种 由自由结构体系和刚性结构体系两个极值边界条件来求解运动方程的方法称为极值条件法）：

φk=φ0k+λkφ∞k （14）

将式（14）代入式（4）中，并引入式（10）有：

(K+iωC ωM)φ

k

2

k

0k

+λk(K ωk2M)φ∞k=0 （15）

将式（15）左右两边分别左乘以φ0k、φ∞k，可得：

TT

φ0TkKφ0k+iωkφ0TkCφ0k ωk2φ0TkMφ0k+λkφ0TkKφ∞k λkωk2φ0TkMφ∞k=0 （16）

T2TT2Tφ∞kKφ0k ωkφ∞kMφ0k+λkφ∞kKφ∞k λkωkφ∞kMφ∞k=0 （17）

本文在自由结构体系和刚性结构体系两个边界条件假设的基础上,阐述了一种求解粘滞阻尼减震结构运动方程的极值条件法,针对该方法的求解过程给出了详细的推导步骤,并对其结果进行了简化分析。算例对比分析结果表明,该方法对运动方程的求解具有良好的效果。

将式（6）、（7）、（12）、（13）代入式（16）、（17）可得：

(ω

2k

222TT ω0k)+λk(ωk ω0k)φ∞kMφ0k iωkφ0kCφ0k= …… 此处隐藏：6178字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……