高等量子力学 理论方法 5

高 等 量 子 力 学一、 量子力学的建立 二、 量子力学基本原理 三、 量子力学的理论方法

四、 量子力学的应用1

三、 量子力学的理论方法一、 表象理论 二、 微扰理论 三、 量子跃迁理论 四、 自旋与角动量理论 五、 散射理论

六、 多粒子体系理论七、 二次量子化

八、 相对论量子力学

第六章 散射理论一、散射过程、散射截面

二、中心力场中的弹性散射三、方形势阱与势垒产生的散射 四、格林函数法和波恩近似

一、散射过程、散射截面 散射过程： 方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方 向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝 各方向散射开去，此过程称为散射过程。散 射后的粒子可用探测器测量。 靶粒子所处位置称为散射中心。ds

θ

Z4

散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其 运动方向偏离入射方向的角度。 弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶 粒子的内部状态都不发生变化，则称弹性散 射，否则称为非弹性散射。 入射粒子流密度N :单位时间内通过与入射 粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数， 用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称 为入射粒子流强度。5

散射截面

dn 综合之，则有： 或

设单位时间内散射到( , )方向面积元ds 上(立体角d 内)的粒子数为dn,显然 ds ds dn N dn 2 d r θ

Nd

Z

dn q( , ) Nd

(1)

比例系数q( , )的性质：

q( , )与入射粒子和靶粒子(散射场)的性质，它们之间的相互作用，以及入射粒子 的动能有关，是 , 的函数6

q( , )具有面积的量纲 dn 2 [q] L Nd

故称q( , )为微分散射截面，简称为截面 或角分布 如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截 面面积q( , ),则单位时间内通过此截面的 粒子数恰好散射到( , )方向的单位立体角 内。 dn q ( , ) N (2) d

总散射截面：Q q( , )d 0

2 0

q( , ) sin d d

[注] 由于N、 dn d 可通过实验测定，故而求 得 q ( , ) 。 量子力学的任务是从理论上计算出 q ( , ) , 以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间 的相互作用以及其它问题。8

现在考虑量子力学对散射体系的描述。设 靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，在碰 撞过程中，靶粒子可视为静止。 取散射中心A为坐标原点，散射粒子体系的 定态Schrö dinger方程

2 U (r ) E 2 令2 E k 2 2

2

(4)

2 V (r ) 2 U (r ) 9

方程(4)改写为

[k V (r )] 0 2 2

(5)

由于实验观测是在远离

靶的地方进行的，从 微观角度看，可以认为 r ,因此，在计算 q( , ) 时，仅需考虑 r 处的散射粒子的 行为，即仅需考虑 r 处的散射体系的波 函数。 设 r 2

时， V (r ) 0 ,方程(5)变为2

k 0

(6)10

对于三维情形，波可沿各方向散射。 在 r 处，散射粒子的波函数是入射平 1 eikz 和球面散射波 2 之和。即 面波

(r )

r

e Ae f ( , ) rikz

ikr

(7)11

为方便起见，取入射平面波 eikz 的系 | 1 |2 1 ,入射粒子束单位 数 A 1 ,这表明 体积中的粒子数为1。 入射波概率密度(即入射粒子流密度) 1* i * 1 J z 1 1 2 z z k N i * * ( ik 1 1 ik 1 ) 2

(8)

散射波的概率流密度12

* i 2 * 2 2 | f ( , ) |2 J r 2 2 2 r r r

(9)

单位时间内，在沿 ( , ) 方向d 立体角内 出现的粒子数为 2 dn J r ds | f ( , ) | 2 ds r 2 (10) | f ( , ) | Nd 比较(1)式与(10),得到

q ( , ) | f ( , ) |

2

(11)13

由此可知，若知道了 f ( , ) ,即可求得 q( , ), f ( , ) 称为散射振幅。所以，对于能量给定的入 射粒子，速率 v 给定，于是，入射粒子流密度 N v 给定，只要知道了散射振幅 f ( , ),也就能 求出微分散射截面。 f ( , ) 的具体形式通过求 Schrö dinger方程(5)的解并要求在 r 时 具有渐近形式(7)而得出。 下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方 法：分波法，玻恩近似方法。 分波法是准确的求散射理论问题的方法，即 准确的散射理论。14

二、中心力场中的弹性散射(分波法)讨论粒子在中心力场中的散射。 U (r ) ,状态方程 粒子在辏力场中的势能为

[k V (r)] 02 2

(2-1)

取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线 为极轴z,显然 与 无关，对于具有确定能 量的粒子，方程(2-1)的特解为Rl (r )Ylm ( , )

由于现在 与 无关(m=0),所以，方程(1) 的特解可写成15

Rl (r ) Pl (cos ) 方程(2-1)的通解为所有特解的线性迭加 (r, ) Rl (r )Pl (cos )l

(2-2)

Rl r 为待定的径向波函数，每个特解称为一 个分波，Rl (r )Pl (cos ) 称为第 l 个分波，通常称 l 0,1, 2,3, 的分波分别为s, p, d, f…分波

(2-2)代入(2-1),得径向方程1 d 2 dRl 2 l (l 1) r dr k V (r ) r 2 Rl (r ) 0 2 r dr

(2-3)16