极坐标和球坐标下的导热微分方程的推导

极坐标和球坐标下的导热微分方程的推导

极坐标和球坐标下的导热微分方程的推导 摘要：运用热平衡法，既能量守恒定律，建立极坐标和球坐标下的导热方程。

关键词：极坐标；球坐标；导热微分方程；能量守恒定律；热平衡法

0 引言

基于以下假设：所研究的物体是各向同性的连续介质；其导热系数λ，比热容c和密度ρ均已知；物体内具有内热源，放热为正，吸热为负。从物体中分离出微元体dV,再根据能量守恒定律，便可以导出导热微分方程。

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课题研究内容、意义、目的、方法、结论等等。

1 在球坐标下

在球坐标系中，热流密度矢量沿r，φ，θ轴的分量应为

qr=-λ; qφ=-λ r t1 trsinθ φ; qθ=-λ1 t

r θ

dτ时间内，沿r，φ，θ方向导入和导出微元体的净热量分别为：

dΦr- dΦr+dr =- rr2sinφdrdφdθdτ

dΦφ-dΦφ+dφ=- qφ

φ qrsinφdrdφdθdτ

qθ

θ dΦθ-dΦθ+dθ=-

叠加得：

ρc r=-（ r2sinφ+

t1 t t q qφ φrdrdφdθdτ rsinφ+1 qθ θr）+qv r2sinφ t

φ1 t θρc r=-r2 rλr2

r）+

即： r2sin2φ φ（λ）++r2sinφ θ（λsinθ）+qv

t r2=0. 2 在极坐标下

dΦr=qrrdφdzdτ

dΦr+dr=qr+drrdφdzdτ

qr+dr= qr+ rdr q

极坐标和球坐标下的导热微分方程的推导

dΦr- dΦr+dr =- rrdφdzdτdr

dΦφ=qφdrdzdτ

导出微元体的热量为：

dΦφ+dφ=qφ+dφdrdzdτ

同理可得φ方向和z轴方向导入微元体的热量

将三个方向导入和导出微元体的热量相加，得：

Ⅰ=---（ r q qφ φ q+ q

zr）drdφdzdτ

由傅里叶定律，q=-λgradt

在极坐标下，

qr=-λ

所以

Ⅰ=[r r（λr r）+r1 t1 φ t rqφ=-λ1 tr φ；qz=-λ t z（ t

φ）+r z（λr z）] drdφdzdτ t

在dτ时间内，微元体中的内热源发热量为：

Ⅱ=qv drdφdzdτ 在dτ时间内，微元体中热力学能的增量为

Ⅲ=ρcφdzdτ r t

对于不可压缩的固体和流体，定压比热容cp等于定容比热容cv，即cp=cv=c0，

[r r（λr r+r

叠加得:

1

r r1 t1 φ（ t φ）+r z（λr z）] drdφdzdτ+ qv drdφdzdτ=ρc rφdzdτ t t（λr+ r t1 rr φ（ t

φ）+r

z（λr+ qv =ρ cr z r t t

所以:

r（r=0 r t

3 结论

极坐标和球坐标下的导热微分方程的推导

推到得到球坐标和极坐标下的导热微分方程，以后在需要时可直接使用，方便，快捷。 4 参考文献

【1】 廉乐明，谭羽飞，吴家正，朱彤 工程热力学中国建筑工业出版社 2007

【2】 章熙民，任泽霈，梅飞鸣等 传热学 建筑工业出版社 2007.7

【3】 张宗达等 工科数学分析 高等教育出版社 2008.1