3.2.1实际问题中导数的意义

§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中导数的意义【课标要求】 1.理解平均变化率与导数的关系.2.理解导数的实际意义.

3.体会导数意义在实际生活中的应用.【核心扫描】 1.理解导数的概念、导数的几何意义及实际意义. (重点、难点) 2.利用导数解决实际问题.(重点)

3.常与方程、不等式结合命题.课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

自学导引1.生活中的变化率问题 (1)在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为 功率 ，它的 单位是瓦特. (2)在气象学中，通常把在单位时间(如1时、1天等)内的降雨量

称作降雨强度 ，它是反映一次降雨的一个重要指标.(3)在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导 函数称为 边际成本 ，f′(x0)指的是当产量为x0 时，生产成本的 增加速度，也就是当产量为x0 时，每增加一个单位的产量，需 要增加f′(x0)个单位的成本.课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

2.导数在实际问题中的应用 在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合具体问题进行分析，在某一点处的导数的实际意义是当自变量 在该点处的改变量趋近于零时，平均变化率所趋近的值， 问题不同有不同的意义.

(1)功率是功关于时间的导数.(2)降雨强度是降雨量关于时间的导数. (3)边际成本是成本关于产量的导数. (4)速度是路程关于时间的导数. (5)线密度是质量关于长度的导数.

(6)气球的膨胀率是气球半径关于体积的导数.课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

:吹气球时，会发现：随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，能从数学的角度解释这一 现象吗？3 3V 4 3, 提示 根据题意V(r)= πr 即r(V)= ,显然r′(V) 3 4π 3 3 3 ′= 1 = ·V 3 4π 3 3 V 4π ·-

2 3

>0,r(V)是单调递增函

数，所以随着气球内空气容量的增加，气球的半径增 加. 2 )′=- 2 · 5 <0,∴r′(V)是单调递减函数，因此增 又(V 3 3V3- -

加得越来越慢.

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名师点睛1.导数的几何意义 函数y=f(x)在x0处的导数，是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处 的切线的斜率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数 的几何意义.

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2.导数在实际问题中的意义

(1)要理解导数在实际问题中的意义，第一要正确理解导 数的定义，按导数的定义去思考实际问题.第二要看函 数的改变量Δy及自变量的改变量Δx的实际意义.第三再 Δy 看Δx趋于0时， 趋于一个固定的值的实际意义. Δx (2)在不同的实际问题中导数的意

义虽有表述上的不同， 但它们有着共同的特征，即函数在某一点处的导数表示 函数值在该点处的变化快慢，也就是瞬时变化率，求出 了导函数，就可以利用导函数求定义域内任意点处的瞬 时变化率.课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

题型一 在物理学中的应用1 2 【例1】 自由落体运动的运动方程为s=2gt ,(1)求t从3 s 变到3.1 s时，s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际 意义；(2)求s′(3)(s的单位为m,t的单位为s).

[思路探索] 若s=f(t)为运动物体的位移关于时间的函数，则物体在时刻t的速度为v(t)=s′=f′(t),物体在t时刻的加速度a

(t)=[v(t)]′.

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解 (1)Δs=s(3.1)-s(3) 1 2 1 = g×3.1 - g×32=0.305g(m), 2 2 Δt=3.1-3=0.1(s), Δs 0.305g ∴ = =3.05g(m/s). 0.1 Δt 它表示从t=3 s到t=3.1 s这段时间内，自由落体运动的物 体的平均速度为3.05g(m/s). (2)s′=gt,∴s′(3)=3g(m/s).它表示自由落体运动的 物体在t=3 s时的瞬时速度为3g(m/s).课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

函数的导数即函数的瞬时变化率，在不同的环境中可

具有不同的实际意义，在本例中，t=3时，即在3 s时的瞬时速度.

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【训练1】 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)= 65 2 -4.9t +6.5t+10,求运动员在t= 98 s时的瞬时速度，并解 释此时的运动状况.解 65 令t0= ,Δt为增量. 98

h t0+Δt -h t0 则 = Δt 65 65 65 65 2 -4.9× +Δt +6.5× +Δt +10+4.9× 2-6.5× -10 98 98 98 98

Δt

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=

65 -4.9Δt +Δt +6.5Δt 49

Δt

65 =-4.9 49+Δt +6.5

h t0+Δt -h t0 ∴lim Δt Δt→0 65 =lim[-4.9 +Δt +6.5]=0 49 Δt→0

65 即运动员在t0= s时的瞬时速度为0 m/s. 98 说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处.课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

题型二 在经济生活中的应用【例2】 东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c 元与生产量x台之间的关系式为c(x)=-2x2+7 000x+600. (1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；

(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量； (3)求c′(1 000)与c′(1 500),并说明它们的实际意义.

[思路探索] 求总利润、平均利润以及利润的改变量，并说明实际意义.解答本题，可直接按照函数平均变化率的意义

列式计算.课前探究学习 课

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解 (1)产量为1 000台时的总利润为 c(1 000)=-2×1 0002+7 000×1 000+600=5 000 600(元), c 1 000 平均利润为 1 000 =5 000.6(元). (2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变 c 1 500 -c 1 000 6 000 600-5 000 600 量为 = =2 500 1 500-1 000 000(元).

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(3)∵c′(x)=(-2x2+7 000x+600)′=-4x+7 000,

∴c′(1 000)=-4×1 000+7 000=3 000(元),c′(1 500)=-4×1 500+7 000=1 000(元), 说明：当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 0 00元.而当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元. 明确导数在实际问题中的意义是解答此类问 题的关键，边际成本为生产成本y关于产量x的函数的导函

数.

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Q2 【训练2】 已知某商品的成本函数为C(Q)=100+ (Q为 4 产品的数量). (1)求Q=10时的总成本、平均成本及边际成本； (2)当产量Q为多少时，平均成本最小？最小为多少？ 102 解 (1)Q=10时的总成本C(10)=100+ 4 =125;

C 10 Q=10时的平均成本 C 10 = 10 =12.5. 边际成本即成本函数C(Q)对产量Q的导数， 1 故边际成本C′(Q)= Q, 2 Q=10时的边际成本是C′(10)=5.课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

C Q 100 Q (2)由(1)得，平均成本 C Q = = +4 , Q Q 100 Q 100 Q 而 + ≥2· · =10, Q 4 Q 4 100 Q 当且仅当 = 4 ,即Q=20时，等号成立， Q 所以当产量Q为20时，平均成本最小，且平均成本的最小 值是10.

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