一个追逐问题的数学模型和matlab仿真

一个追逐问题的数学模型和matlab仿真

第26卷第1期

2010年2月大 学 数 学COLLEGEMATHEMATICSVol.26, .1Feb.2010

一个追逐问题的数学模型和matlab仿真

蒋剑军

(铜陵学院数学与计算机科学系,安徽铜陵244000)

[摘 要]就两人绕正三角形的追逐问题建立起了两个数学模型:一个充分应用运动的周期性首先给出了两人共边的充要条件,然后直接给出在一个周期内两人共边的次数及起止时刻;另一个则利用初等数论的方法给出了两人共边的另一个充要条件.利用matlab长于计算和强大的绘图功能,分别给出了求解两个模型的matlab程序,通过动画仿真演示两个绕正三角形的追逐模型,并给出了二者同边的时间起止点和同边的次数.

[关键词]追逐问题;数学模型;matlab程序;动画演示

[中图分类号]O29;TP399 [文献标识码]B [文章编号]1672 1454(2010)01 0156 07

1 引言及问题

当前数学建模竞赛在世界各国开展得如火如荼,我国也不例外.数学建模竞赛涉及到自然科学、工程技术、经济、管理等领域的方方面面,数学模型能为这些领域中的很多问题提供有力的数学上的解答,这正是数学建模竞赛的生命力之所在.在我国很多高校的建模竞赛培训中常见这样一个问题:

甲乙两人绕着正三角形ABC跑道(如图1),甲自顶点B出发,乙自顶点C出发,以

同向(反时针方向)前进,设三角形每边长100米,甲每秒跑8米,乙每秒

跑6米,问在什么时候开始二人第一次在三角形的同一边上跑?什么时

候第二次?第三次?并推出什么时候第20次?

这个问题的数学模型是简单的,本文为该问题建立了两个数学模型:

一个利用运动的周期性直接给出在一个周期内两人共边的次数及起止时

刻;另一个则利用初等数论的方法给出了两人共边的充要条件,并利用图1

matlab长于计算和强大的绘图功能,分别给出了求解两个模型的matlab

程序,通过动画仿真演示两人绕正三角形的追逐模型,并给出二者同边的起止点和同边的次数.2 数学模型

易知,甲乙二人绕正三角形追逐运动是周期运动,因为甲乙的相对速度为8-6=2(m/s),正三角形周长为300m,所以不难得到该周期运动的最小正周期为T=300/2=150(s).所以,只要把第一个周期内的共边情况讨论清楚了,其他情况也就清楚了.下面讨论第一个周期的共边情况.

模型一 稍加分析即知,甲乙共边当且仅当下属情形之一发生:

一、甲乙不相逢,甲进入该边时乙还没有走出该边,此时共边的起止时刻分别就是甲进入该边的时刻和乙走出该边的时刻;

二、甲乙不相逢,乙进入该边时甲还没有走出该边,此时共边的起止时刻分别就是乙进入该边的时 [收稿日期]2007 03 26

[基金项目]安徽高校省级自然科学研究重点项目(KJ2007A127ZC)

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第1期 蒋剑军:一个追逐问题的数学模型和matlab仿真

刻和甲走出该边的时刻;157

三、甲乙相逢,下述定理表明此时甲乙必相逢于顶点C,所以共边的起止时刻分别就是甲进入BC边的时刻和甲走出CA边的时刻.

定理 条件如问题所述,则甲乙在追逐过程中相逢且只能相逢于顶点C.

证 容易知道,甲乙追逐50s时即相逢于顶点C,下面证明甲乙只能相逢于顶点C.前面我们已经说明,在所给条件下甲乙追逐运动是周期运动,最小正周期为T=150s,

所以我们只需讨论第一个周期内的情形就够了.在一个周期内,甲路程为s1=8 150=1200m,刚好从顶

点B出发沿正三角形ABC跑了4圈回到B,乙路程为s2=6 150=900m,

刚好从顶点C出发沿正三角形ABC跑了3圈回到C.假设甲乙相逢于正三

角形ABC上反时针方向距离顶点C有xm处(见图2),则0!x<300.假

设甲跑了k圈到达相逢点,乙跑了l圈到达相逢点,则k,l为整数,且分别取

值为k=0,1,2,3,4;l=0,1,2,3.此时甲所走路程为300k+100+x,乙所走

路程为300l+x.由路程速度的关系,我们可得如下方程:

=300k+100+x4.

对k,l用穷举法,解得x=0,这表明甲乙只相逢于顶点C.

根据模型一的描述我们得到:

一、在t=s这一时刻,甲进入CA边,此时乙尚未出该边,乙出该边的时刻是t=s.所以甲乙86

第一次共CA边,起止时刻为二、在t=,;86图2 2s这一时刻,甲进入AB边,此时乙尚未出该边,乙出该边的时刻是t= 2s.所86

2, 2;86以甲乙第二次共AB边,起止时刻为三、在t= 3s这一时刻,甲进入BC边,此时乙尚未出该边,二人共BC边到t=50s这一时刻,8

甲乙相逢于C点.也就是说,甲乙既同时出BC边又同时入CA边,紧接又共CA边,这次不共边的时刻是甲出CA边的时刻,t= 5s.所以甲乙第三次共边的是先共BC边紧接又共CA边,由情形(3)知8

起止时刻为 3, 5;86

4s这一时刻,乙进入AB边,此时甲尚未出该边,甲出该边的时刻是t= 6s.所68

以甲乙第四次共AB边,起止时刻为 4, 6;68四、在t=

五、在t= 5s这一时刻,乙进入BC边,此时甲尚未出该边,甲出该边的时刻是t= 7s.所68

以甲乙第五次共AB边,起止时刻为六、在

5, 7;68 7,150这段时间内,甲乙不会有共边的情形发生.下面我8

们证明这一论断的正确性.在t= 7s时刻,甲乙所在位置如图3,此时8

沿运动方向,乙在甲前225m,甲乙共边的一个必要条件是在运动方向上甲

距离乙小于100m,所以根据相对运动性,要达到这一必要条件甲需要的时

间须多于=62.5(s).而 7,150这段时间只有62.5s,所以28图3

一个追逐问题的数学模型和matlab仿真

158

在这段时间内不会共边.

综上所述,我们得到如下的一般性结果:大 学 数 学 第26卷

一、在一个周期内共有5次共边,第k个周期第l次共边的起止时刻为

150(k-1)+l,150(k-1)+

l, 当l=1,2时; 86

l,150(k-1)+(l+2), 当

l=3时;88

150(k-1)+l,150(k-1)+(l+2), 当l=4,5时.68

150(k-1)+

二、记n=5k+l,0!l<5,则第n次共边的起止时刻正好是第

k+1个周期第l次共边的起止时刻.

模型二 首先,以正三角形ABC顶点B(甲所在的位置)为坐标原

点,边BC所在的直线为x轴建立坐标系(见图4).甲乙在t时刻的路程

分别为s1(t)=8t,s2(t)=6t;对甲而言,我们给BC,CA,AB分别赋予标

签0,1,2;对乙而言,则给CA,AB,BC分别赋予标签0,1,2,则易知下述

结论成立(下述同余式的右端是边的标签):

1#甲乙共边AB当且仅当 2(mod3)且 1(mod3);图4 初始状态

2#甲乙共边BC当且仅当 0(mod3)且 2(mod3);

3#甲乙共边CA当且仅当 1(mod3)且 0(mod3).3 程序与仿真

下面给出两个模型的计算机求解程序.为了在模型二中获得共边的起止时刻,我们通过动画仿真演示甲乙二人的追逐过程.下面所给两个程序直接复制到matlab的m文件编辑器里面保存运行即可.

我们首先给出模型一的matlab程序,该程序提供如下两个问题的解答:一、[0,t]内共边的次数有多少?二、第n次共边的起止时刻是多少?

%模型一的matlab程序%%%追逐模型的问与答

%本程序解决二人绕正三角形追逐问题中的如下两个问题:

%(1)在[0,t]时段内共边的次数有多少?(2)第n次共边的起止时刻是多少?

clearall;closeall

t=input('如果你想知道在[0,t]时段内共边的次数有多少,请输入t值,否则请回车,t=&);

ift<0|t==0

t=input('t值须大于0,t=');

end

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