复变函数 高等教育出版社 第三章(2)

第二节

柯西积分定理

C 本节内容： 当f ( z ),曲线 满足怎样的条件，

积分 f ( z )dz 与积分路径无关 ?C

一. 二.

柯西积分定理 柯西积分定理的推广—复合闭路定理

三. 应用：原函数

预备知识:关于坐标积分的格林公式设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数 M(x , y ), N ( x , y )在D内具有一阶连续偏导数 ， N M 则 Mdx Ndy ( )dxdy L D x y 结论：设区域G是一个单连通域，函数 ( x , y ), N ( x, y ) M

在G内具有一阶连续偏导数 ，则曲线积分

L

Mdx Ndy 在G内与路径无关(或沿G内任意闭曲线的积分为 零)

N M 充要条件： 在G内恒成立 x y

分析：

C

f ( z )dz

0

u( x, y)dx v ( x, y)dy i C v ( x, y)dx u( x, y)dy C根据格林公式,得 (G为闭曲线C所围成的单连通区域) v u C u( x, y)dx v( x, y)dy G ( x y )dxdy 0 u v C v( x, y)dx u( x, y)dy G ( x y )dxdy 0 u v假设f ( z )在区域G内解析， 且导数 f ' ( z ) 连续 x y 即 u v y x

且它们都是连续的，根据格林公式，得

定理2.1(柯西积分定理)则 若 f (z )在单连通区域 内 解析，f ' ( z ) 连续， B

对B内任意一条封闭曲线 C,有

C

f ( z )dz 0

B C

定理(P33-定理2.2)z 设函数 f ( z )在单连通区域 内解析， 0 , z1为B内任意两点， B

C1与C2为连接 z0 与z1 的积分曲线，C1, C2都含于B, 则

C1

f ( z )dz =

C2

f ( z )dz

即 当 f ( z ) 为单连通区域B内的解析函数时，积分 与路径无关。仅由积分路线的起点z0 与终点z1 来决定。

B

C1z0

z1

C2

注： 柯西积分定理的”际应用”:

只要被积函数 f ( z ) 在积分闭曲线C 所围成的区域内解析， 则

例

C

f ( z )dz 0(ze z 在复平面内处处解析， 因此在单位圆内解析)sinz ( 除点2外，在复平面内解析， z 2 因此在单位圆内解析)

z 1

ze dz 0z

sinz z 1 z 2dz 0

2.2

复合闭路定理—柯西积分定理的推广

问题分析： 若f ( z )在闭曲线C所围成的单连通区域 (绿色阴影区域) D

内解析，则

D的 边 界 C

f ( z )dz 0

CD

若f ( z )在一多连通区域 ( 绿色阴影区域)内解析 G ,则

f ( z )dz 0 ? G的 边 界C1

CG

定义2.1

设C为一条正向简单闭曲线 ，

C1 , C 2 , , C n 是C内部的正向简单闭曲线 C1 , C 2 , , C n , 之间互不包含也互不相 交。 C内部同时又在C1,C2, 在 构成有界的多连通区域 G Cn外部的点集 称G的边界 C C1 C2 Cn 为复合闭路。

的正方向规定：

外边界C上取逆时针方向， 内边界C1 , C 2 , , C n上取顺时针方

向。C1

CGC2Cn

定理 2.3

设函数 f ( z )在多连通区域 内解析， D

C与C1是D内两条正向简单闭曲线 C1在C的内部， , 且复合闭路 C C1 所围成的多连通区域 完全含于D内， G

则 或

f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 0C C1

C

f ( z )dz =

C1

f ( z )dz

注：函数f ( z )在多连通域G内 解析，其中C,C1为G的边界。C

C1G

D

证明：

根据柯西积分定理,得

AA F B BFA

f ( z )dz 0

AEB

AEB B E A A

f ( z )dz 0

C

二式相加,得

( ( dz f ( z )dz f ( z )dz f z)dz f z) 0 BFA A'F 'B' B' E ' A' (1) ( 2)

C

f ( z )dz f ( z )dz 0C1

F’ A’ E’

F

C

f ( z )dz f ( z )dzC1

C1B’ E B

A

D

注： 闭路变形原理：

C

f ( z )dz = C f ( z )dz 1

在区域内的一个解析函 数沿闭曲线的积分不因闭曲线 , 在区域内作连续变形压缩或扩张)而改变积 ( 分值,

注：变形过程中不经过函数 f (z )的奇点。 C G D

C1

例 计算 c解:

dz , C围绕点z0 的任意闭曲线 n为整数. , n 1 ( z z0 )

根据闭路变形定理，得

dz n 1 c ( z z0 )

dz c1 ( z z0 )n 1C1

Cz0

2 i , n 0 0, n 0注：推广了例题1.2的结论

o

(2) 推论2.1(复合闭路定理)

设函数 f ( z )在多连通区域 内解析， D C C1 C2 Cn 是D内的一个复合闭路，

且 所围成的多连通区域完 全含于D中，则或

f ( z )dz 0n

C

f ( z )dz = C f ( z )dz kk 1

CC1

C2

注：函数f (z )在 所围成的 多连通域内解析，其中 为边界。

Cn

D

复合闭路定理的应用：计算积分

C

f ( z )dz

若被积函数 f ( z ) 在积分闭曲线C 围成的区域D内 除有限个奇点z1 , z 2 ,..., z n 外是解析的:作 n 条分别包含奇点z1 , z 2 ,...,z n 的闭曲线C1,C 2 ,...,C n , 使它们与C一起满足复合闭路定理 的条件 : f ( z )在它们 所围成的多连通域内解 析且它们与C 一起所围成的区域完全 包含在D内)

(即 闭曲线C1,C 2 ,...,C n 在C的内部，互不相交，互 不包含，

得

C

f ( z )dz = C f ( z )dz kk 1

n

例2.1 计算 C解:

2z 1 dz,C为包含1与0的正向简单闭曲线. 2 z z

1,0为被积函数的奇点,

C1为围绕z 0的半径充分小的正向圆 周C2为围绕z 1的半径充分小的正向圆 周

根据复合闭路定理,得

2z 1 C z 2 z dz 2z 1 2z 1 2 dz 2 dz C1 z z C2 z z

C

C10

C21

1 1 1 1 dz dz dz dz C1 z 1 C1 z C2 z 1 C2 z柯西积分定理 例题1.2 柯西积分定 理

0 2 i 2 i 0 4 iC10

C

C2

1