第七章 应力状态分析 强度理论

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第七章 应力状态分析 强度理论1

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目第七章 录

应力状态分析

强度理论

应力状态的概念 二向应力状态分析——解析法 二向应力状态分析——图解法 三向应力状态 广义胡克定律 复杂应力状态下的应变能密度 强度理论概述 四种常见的强度理论及强度条件2

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§7—1 应力状态的概念铸 铁低碳钢

塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？3

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§7—1 应力状态的概念低碳钢铸 铁

脆性材料扭转时为什么沿45º 螺旋面断开？4

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§7—1 应力状态的概念lS平面T y14

S

F a1

z2 3 MzT Wt

x

Fa

T MFl

τ σ Mz Wz

3τ T Wt

σ 5

Mz Wz

目录

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§7—1 应力状态的概念 z

z zy yz

zxx x

3 y

xz

2

xy yx

y

1单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 称为主应力，分别用 1 , 2 , 3 表示，并且 该单元体称为主单元体。

1 2 36

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§7—1 应力状态的概念空间(三向)应力状态：三个主应力均不为零 平面(二向)应力状态：一个主应力为零 单向应力状态：两个主应力为零

3

2

17

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§7—2 二向应力状态分析——解析法1.斜截面上的应力n

y x

yx

xy

x α

a

xy

adA

α

x y

yx

y

tt

F

n

0

F 08

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§7—2 二向应力状态分析——解析法列平衡方程

x α

a

n

F

n

0

xy

adA

dA xy (dAcos ) sin x (dAcos ) cos yx (dAsin ) cos y (dAsin ) sin 0

yx

y

t

F 0t

dA xy (dAcos ) cos x (dA cos ) sin yx (dAsin ) sin y (dAsin ) cos 09

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§7—2 二向应力状态分析——解析法

利用三角函数公式

{

1 cos 2 (1 cos 2 ) 2 1 2 sin (1 cos 2 ) 2

2 sin cos sin 2

并注意到 yx xy 化简得1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 1 ( x y ) sin 2 xy cos 2 210

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§7—2 二向应力状态分析——解析法

y xa y x

正负号规则：yx

xy

正应力：拉为正；反之为负

x a a

切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。

α角：由x 轴正向逆时针转

xy

α yx

nx

到斜截面外法线时为正；反 之为负。

y

t11

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§7—2 二向应力状态分析——解析法2. 正应力极值和方向确定正应力极值1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d

设α=α0 时，上式值为零，即 ( x y ) sin 2 0 2 xy c

os 2 0 0 (σ σy ) x 2 sin2α τ ycos2α 2τ0 0 0 x 0 α 2

即α=α0 时，切应力为零

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§7—2 二向应力状态分析——解析法tan 2 0 2 xy

x y

由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。

所以，最大和最小正应力分别为： max min

x y2

1 21 2

x

2 y 4 xy 2

x y2

x

2 y 4 xy 2

主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ313

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§7—2 二向应力状态分析——解析法例题1:一点处的平面应力状态如图所示。

已知

x 60MPa

xy 30MPa,

y 40 MPa, 30 。

40 30

试求(1) 斜面上的应力； (2)主应力、主平面； (3)绘出主应力单元体。

60

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§7—2 二向应力状态分析——解析法解： (1) 斜面上的应力 x y x y cos 2 xy sin 2 2 2

y xy

60 40 60 40 cos( 60 ) 30 sin( 60 ) 2 2

x

9.02MPa

x y

2 60 40 sin( 60 ) 30 cos( 60 ) 2

sin 2 xy cos 2

58.3MPa

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§7—2 二向应力状态分析——解析法(2)主应力、主平面 x y x y 2 2 max ( ) xy 2 2

y xy

68.3MPa

x x y ( x y ) 2 2 xy min 2 2 48.3MPa

1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa16