高等数学上册复习

复习以例题和习题为主，每一章、节及总复习题里的

填空、选择、判断都要认真做一下

以下说明仅供同学们参考

第一章复习提要

第一节 映射与函数

1、注意几个特殊函数：符号函数，取整函数，狄利克雷函数；这些函数通常用于判断题中的反例

2、注意无界函数的概念

3、了解常用函数的图像和基本性质（特别是大家不太熟悉的反三角函数）

第二节 数列的极限

会判断数列的敛散性

第三节 函数的极限

1、函数极限存在的充要条件：左右极限存在并相等。（重要）

2、水平渐近线的概念，会求函数的水平渐近线（p37）。（重要）

3、了解函数极限的局部有界性、局部保号性。

第四节 无穷大和无穷小

1、无穷小和函数极限的关系：xlim xx f(x) A f(x) A ，其中 0

是无穷小。

2、无穷大和无穷小是倒数关系

3、铅直渐近线的概念（p41）, 会求函数的铅直渐近线

4、无界与无穷大的关系：无穷大一定无界，反之不对。

5、极限为无穷大事实上意味着极限不存在，我们把它记作无穷大只是为了描述函数增大的这种状态

第五节 极限的运算法则

1、极限的四则运算法则：两个函数的极限都存在时才能用。 以乘法为例比如f(x) x,g(x) 1。 x

x 0limf(x) 0，limg(x) 。 x 0

但是limx 0f(x) g(x) 1

2、会求有理分式函数p(x)的极限（P47 例3-例7）（重要） q(x)

x x0时:若分母q(x0) 0，则极限为函数值

若分子和分母同时为零，则为0型极限，约去公因子 0

若只是分母为零，则极限为无穷大。（p75页9（1）） x 时，用抓大头法，分子、分母同时约去x的最高次幂。

第六节 极限存在的准则，两个重要极限（重要）

1、利用夹逼准则求极限：

例 p56也习题4（1）（2），及其中考试题（B）卷第三题（1）

2、利用两个重要极限求其他的极限（p56习题2） 3 注意下面几个极限：

limxsinx 01sinxsinx 0；lim 0；lim 1 x x 0xxx

第七节 无穷小的比较（重要）

1、会比较两个无穷之间的关系（高阶、低阶、同阶，k 阶还是等价穷小）

x22、常见的等价无穷小：sinx,tanx,arcsinx~x；1 cosx~2

ex 1~x；(1 x)~1

n x n

3、若 (x)为无穷小，则

sin (x)~ (x)，1

(1 (x))n~ (x)

n，

ln(1 (x))~ (x)，e (x) 1~ (x)。

4、替换无穷小时必须是因式

x 0limtanx sinxx3 limx x

3x 0x 0

应该

x2

xtanx sinxtanx(1 cosx)1lim lim lim 2x 0x 0x 0x3x3x3

5、会利用等价无穷小计算极限（p60页习题4）

第八节 函数的连续性与间断点（重要）

1、函数在点x0连续 limf(x) f(x0) x x0

左连续limf(x) f(x0)且 x x 0

右连续xlim x 0f(x) f(x0)

2、会判断间断点及其类型。讨论分段函数的连续性。 3、f(x)在点a连续 f(x)在点a连续；但反之不对。

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

初等函数在其定义域上都是连续的，因而求某点处极限时可以直接把点代入求值。

4. 注意三个例题：例6-例8（重要）

5、幂指函数u(x)v(x)求极限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)来求。（重要）

6、若含有根式，则分子或者分母有理化（p75页9（2））是求极限的一种重要方法。（重要）

7、利用分段函数的连续性求未知数的值（如p70页 6）（重要）

第十节 闭区间上连续函数的性质

1、 最大值最小值定理、零点定理、介值定理的内容

2、 会零点定理证明方程根的存在性。（重要）

补充说明 请熟悉函数e当x 0 ,x 0 ,x 时的极限。 1

x

第二章复习提要

1、导数的定义

（1）利用导数的定义求一些极限的值：例如P86页第6题 例1、设f(0) 0,f (0) k0,则limf(x) ____. xx 0

例2、设f (x0)存在，则limf(x0 h) f(x0) ________.（重要） hh 0

（2）利用左右导数讨论函数的可导性：P125页第7题 例3、已知 sinx,x 0，求f (x) f(x) x,x 0

注意分点处的导数应该用定义来求。（重要）

（3）利用左右导数求未知数的值：P87页第17题（重要）

例4、设f(x) sinx,x 0为可导的，求a的值 ax,x 0

（4）利用导数几何意义求切线和法线方程（重要）

（5）可导 连续，反之不成立！

2、求导法则

（1）复合函数求导不要掉项；

（2）幂指函数u(x)v(x) ev(x)lnu(x)转化成指数来求导

3、高阶导数

（1）一般的函数求到2阶即可；

（2）几个初等函数的n阶导数：

(eax)(n) aneax；y(n) sin(x n)；(cosx)(n) cos(x n) 22

[ln(1 x)](n) ( 1)n 1(n 1)!

(1 x)n,

(n 1)!

(1 x)n[ln(1 x)](n) ( 1)n 1( 1)n(n 1)!

(1 x)n

由上面的求导公式我们容易推出下列求导公式： 1(n)n!() [ln(1 x)](n 1) ( 1)n

1 x(1 x)n 1

1(n)n!() [ln(1 x)](n 1) 1 x(1 x)n 1

( 1(n)n!) [ln(a x)](n 1) ( 1)n

a x(a x)n 1

1(n)n!) [ln(1 x)](n 1) a x(a x)n 1(

(3) 二项式定理

(uv)(n)(n k)(k) Ckuv n

k 0n

（4）间接法求高阶导数：

例5、求y 1 x的n阶导数：提示1 xy 1 2。 1 x

（5）注意下列函数的求导

例6、求下列函数的二阶导数：P103页第3题（重要）

（1）y （2）y ln[f(x)] f(x2)；

4、隐函数及参数方程求导（重要）

（1）一般方法，两边对x球到后解出dy。 dx

（2）会求二阶导数

（3）对数求导法适用于幂指函数和连乘或连除的函数

（4）注意参数方程二阶导数的公式

dy

dx22d( dydy)() dt dxt

dxdtdx

dt。（重要）

（5）相关变化率问题：

根据题意给出变量x和y之间的关系；

两边对t（或者是其他变量）求导

dx和dy

dtdt之间的关系，已知其中一个求另外一个。

5、函数的微分

（1）微分与可导的关系：可微 可导且

dy f (x)dx

（2）利用微分的形式不变性求隐函数或显函数的微分： 显函数的例子见课本的例题；下面给出隐函数的例子 例7、设ysinx cos(x y) 0,求dy。

解: 利用一阶微分形式不变性 , 有

d(ysinx) d(cos(x y)) 0

sinxdy ycosxdx sin(x y)(dx dy) 0

dy ycosx sin(x y)dx。 sin(x y) sinx

（3）近似计算公式：注意x0的选取原则。(一般不会考) f(x) f(x0) f (x0)(x x0)

第三章：微分中值定理与导数的应用复习提要

3.1 微分中值定理（重要）

罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理应用：

（1） 证明等式，一般通过证明导数为零

（2） 证明不等式：若不等式中不含x，则取x作为辅助函数

的自变量；若含有x，则取t作为辅助函数的自变量。（重要）

（3） 判断方程的根（存在性用零点定理，唯一性或判断根

的个数用中值定理，有时还要结合单调性，见153也习题6）（重要）

（4） 利用辅助函数和中值定理证明等式（一个函数用拉格

朗日，二个用柯西）

例1 设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1) 0，证

明至少存在一点 (0,1)使得f ( ) 2f( )。

证明：上述问题等价于 f ( ) 2f( ) 0。