12-1常数项级数的概念与性质

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第十二章 无穷级数数项级数

无穷级数

付氏级数 表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算

函数项级数

幂级数

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第一节 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质

三、级数收敛的必要条件

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一、常数项级数的概念引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.

依次作圆内接正内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正

边形,设 a0 表示

这个和逼近于圆的面积 A .即

机动

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二、级数的概念1. 级数的定义:

一般项 (常数项)无穷级数

un u1 u2 u3 un n 1级数的部分和

sn u1 u2 un ui部分和数列i 1

n

s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 , , sn u1 u2 un ,

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2. 级数的收敛与发散:当 n 无限增大时, 如果级数 un 的部分和n 1

数列 sn 有极限 s ,即 lim s n s 则称无穷级数n

un 收敛, 这时极限 s 叫做级数 un 的和. 并 n 1 n 1写成 s u1 u2 u3

如果sn 没有极限,则称无穷级数

un 1

n 发散.

即 常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)n

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当级数收敛时, 称差值

为级数的余项. 显然

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例 1 讨论等比级数(几何级数)n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0

的收敛性.

解 如果q 1时

sn a aq aq 2 aq n 1

a aq a aqn , 1 q 1 q 1 qn

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a sn 当q 1时, lim q 0 lim n 1 q 收敛 n n n lim q lim sn 当q 1时, n n

发散

如果 q 1时当q 1时,sn na

发散

当q 1时, 级数变为a a a a lim sn不存在n

发散

当q 1时, 收敛 综上 aq n 0 当q 1时, 发散 n

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例2. 判别下列级数的敛散性:

解: (1)

2 4 n 1 3 S n ln ln ln ln 1 3 n 2

(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n

ln(n 1) ( n )所以级数 (1) 发散 ;

技巧: 利用 “拆项相消” 求 和机动 目录 上页 下页 返回 结束

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1 1 1 1 (2) S n 1 2 2 3 3 4 n (n 1)1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n n 1

1 1 ( n ) 1 n 1 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .技巧:利用 “拆项相消” 求 和

机动

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例 3解

试把循环小数 2.317 2.3171717 表示17 17 17 2.317 2.3 3 5 7 10 10 10

n 等比级数 17 1 2.3 3 10 n 0 100 公比 q 1 100 17 1 1147 2.3 3 . 10 1 1 495 100

成分数的形式.

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三、无穷级数的基本性质性质1. 若级数 乘以常数 c 所得级数

收敛于 S , 即 S u n , 则各项n 1

也收敛 , 其和为 c S .n

证: 令 S n

k 1

u k , 则 n c u k c S n ,k 1

n

lim n

n

cS

这说明 c u n 收敛 , 其和为 c S .n 1

说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

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性质2. 设有两个收敛级数

S

n 1

un ,

n 1

vn

则级数

n 1

( un vn )也收敛, 其和为 S .k 1

证: 令 S n n

u k , n vk ,k 1

n

n

则

n ( u k vk )k 1

S ( n )

这说明级数

n 1

( un vn ) 也收敛, 其和为 S .机动 目录 上页 下页 返回 结束

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说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .

(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n vn )必发散 . (用反证法可证)n 1

但若二级数都发散 ,

不一定发散.

例如, 取 un ( 1) 2 n , vn ( 1) 2 n 1 ,

机动

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例4

5 1 n 的和. 求级数 2 n 1 n( n 1) 5 1 5 1 n n 2 n 1 n( n 1) n 1 2 n 1 n( n 1)

解

5 1 1 5 n 1 n 1 n( n 1) n 1 n

1 1 1 令 g n 5 ), 5(1 k 1 n 1 k 1 k

n

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1 lim gn 5 lim(1 ) 5, n n n 11 1 1 n是等比级数, 公比q 1, 首项是 ， 2 2 n 1 2

1 1 n lim hn 2 1, n 1 n 1 2 1 25 1 故 n 5 1 6. 2 n 1 n( n 1)