求轨迹问题的常用方法20120921

解析几何

求轨迹问题的常用方法

解析几何

1. 方程x 2 xy x表示的曲线是 A.一个点 C.两条直线 B.一条直线

C

D.一个点和一条直线

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方程可变形为x x y 1 0, 所以x 0或x y 1 0,表示两条直线.

解析几何2. 到两定点A 0, 0 ,B 3, 4 的距离之和为5的点的轨迹 是 A.椭圆 C.线段AB B.AB所在的直线 D.无轨迹

C

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AB 5,所以动点的轨迹为线段AB.

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3. 已知点P是直线2x y 3 0上的一个动点，定点M 1, 2 , Q是线段PM 延长线上的一点，且 PM MQ ,则Q点的轨 迹方程是 A.x y 1 0 2 C.x y 1 0 2 B.x y 5 0 2 D.x y 5 0 2

D

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设Q( x,y),则可得P 2 x, 4 y ,代入

2x y 3 0,得2x y 5 0.

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已知实数m,n满足m2 n2 1,则P(m n,m n) 4.

x2 y 2 2 . 的轨迹方程是 _____________

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又因为m2 n2 1,得x2 y2 2.

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一、直接法求轨迹方程设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x 2 2y 2 4交于 A,B两点，P是l 上满足 PA PB 1的点，求点P的轨迹方程.

例1

分析

设P点的坐标为( x,y ),

用直接法求得P点的轨迹方程，要 注意x的范围，通过直线l与椭圆相 交获得.

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解析

设P点的坐标为( x,y ), 则由方程x 2 2y 2 4,得2y 2 4 x 2 , 4 x2 所以y , 2 4 x2 4 x2 所以A,B两点的坐标分别为：, (x ),, (x ), 2 2 4 x2 4 x2 又 PA PB 1,所以(0, y ) (0, y ) 1, 2 2 4 x2 x2 y 2 即y 2 1,所以 1, 2 6 3 又直线l与椭圆交于两点，所以 2<x<2, x2 y2 所以点P的轨迹方程为 1( 2<x<2). 6 3

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二、定义法求轨迹方程

例2 如图，已知圆A:(x+2)2+y2=1与点 A(-2,0),B(2,0),分别求出满足下列条 件的动点P的轨迹方程. (1)△PAB的周长为10; (2)圆P过点B与圆A外切(P为 动 圆圆心); (3)圆P与圆A外切且与直线x=1相切(P为 动圆的圆心).8

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分析 根据题意，先找出等价条件， 再根据条件判定曲线类型，最后写出 曲线的方程. (1)|PA|+|PB|=10-|AB|=6.

(2)|PA|-|PB|=1.(3)P点到A点的距离比P点到直线x=1 的距离长1,即P点到A点的距离等于 P点到直线x=2的距离.9

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解析 (1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10,即|PA|+|PB|=6>4=|AB|, 故P点的轨迹是椭圆，且2a=6,2c=4, 即a=3,c=2,则b= 5 ,x2 y 2 因此其方程为 =1(y≠0). 9 5

(2)设圆P的半径为r,则|PA|=r+1,|PB|=r, 因此|PA|-|PB|=1.10

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由双曲线的定义知

,P点的轨迹为双曲线的1 15 右支,且2a=1,2c=4,即a= ,c=2,则b= 2 2 4 2 1 2因此其方程为4x 15 y =1(x≥ ). 2

,

(3)依题意知，动点P到定点A的距离等于到 定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线， 且开口向左，p=4.因此其方程为y2=-8x.11

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评析 (1)本题为利用圆锥曲线的定义求动 点轨迹方程的问题.若动点轨迹的条件 符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、 双曲线、抛物线的定义，则可以直接根 据定义求出动点的轨迹方程. (2)圆锥曲线的定义提示了其本质特 征，而圆锥曲线的方程随坐标系的不同 而不同，因而掌握定义是根本.12

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三、代入法(相关点法)求轨迹方程设F 1, 0 ,M 点在x轴上，P点在y轴上，且 MN 2MP, PF,当点P在y轴上运动时，求点N PM

例3

的轨迹方程.

分析 1 确定M 与P的坐标关系. 2 寻找动点N 与点M 、P的关系. 3 用代入法求轨迹方程.13

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解析

设M x0, 0 ,P (0,y0 ),N ( x,y ),点N 为轨迹上任意一点. 因为PM PF, ( x0, y0 ), (1, y0 ), PM PF 2 所以( x0, y0 ) (1, y0 ) 0,所以x0 y 0 0. 由MN 2MP,得( x x0,y ) 2( x0,y0 ),

x0 x x x0 2 x0 所以 ,即 1 , y 2 y0 y0 2 y y2 所以 x 0,即y 2 4x. 4

评析

在某些较复杂的探求轨迹的过程中，可先确定

一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点， 所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.14

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变式2

如图所示，已知P 4, 0 是圆x 2 y 2 36内的

一点，A、B是圆上两动点，且满足 APB 90 ,求矩 形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

分析 动点Q与A、B两点的变化有关，由圆的弦的性质知点Q与AB的中点 R有关， 因此可先求出R点的轨迹方程，再转化为 点Q的轨迹方程.

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解析

设AB的中点为R( x,y ),则在Rt ARO中， AR AO OR 36 x 2 y 2 .2 2 2

又 AR PR x 4 2 y 2 , 有 x 4 y 2 36 x 2 y 2 .2

即x 2 y 2 4x 10 0. 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在 所求的轨迹上运动.