高中数学必修2导与练(瞻前顾后+要点突出+典例精析+演练广场) 4.1

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想一想： 圆的标准方程 2 2 2 圆心为 C(a, b),半径为 r 的圆的标准方程是 (x- a) + (y- b) = r .

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做一做： 1.若一圆的标准方程为(x- 1)2+(y+ 5)2= 3,则此圆的圆心和半径分别为( (A)(- 1,5), 3 (B)(1,- 5), 3 (C)(- 1,5), 3 (D)(1,- 5), 3

B )

解析：由圆的标准方程可知，圆心为(1,-5),半径为 3.故选 B.

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2.圆的一条直径的两个端点是(2,0),(2,- 2),则此圆的方程是( (A)(x- 2)2+(y- 1)2= 1 (B)(x- 2)2+(y+ 1)2= 1 (C)(x+ 2)2+(y- 1)2= 1 2 2 (D)(x+ 2) +(y+ 1) = 12 2

B )

解析：圆心坐标(2,-1),半径为 1,圆的方程为(x-2) +(y+1) =1,故选 B.

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3.方程 (x- a) + (y- b) = 0 表示的图形是 ( (A)以(a, b)为圆心的圆 (B)以(- a,- b)为圆心的圆 (C)点(a, b) (D)点(- a,- b)

2

2

C )

2 x - a =0 x= a 2 2 解析： (x- a) + (y- b) = 0 ,即 . 故选 C. 2 y- b = 0 y= b

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4. 已知圆的方程为(x+1) +(y-2) =5, 则圆心到直线 2x+y-1=0 的距离为________.

2

2

解析：圆心为 (- 1,2),则圆心到直线 2x+ y- 1= 0 的距离 |- 2+ 2- 1| 5 d= = . 5 5

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知识要点一：圆的标准方程 1.确定圆的方程的条件 2 2 2 圆的标准方程 (x- a) + (y- b) = r 中，有三个参数 a、 b、 r,只要求出 a、 b、 r,这时 圆的方程就确定了，因此确定圆的方程，需要三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半 径是圆的定量条件. 2.几种特殊位置的圆的方程 条件 方程形式 2 2 2 圆心在原点 x + y = r (r≠ 0) 过原点 (x- a)2+ (y- b)2= a2+ b2 (a2+ b2≠ 0) 2 2 2 圆心在 x 轴上 (x- a) + y = r (r≠ 0) 圆心在 y 轴上 x2 +(y- b)2 = r2(r≠ 0) 圆心在 x 轴 (x- a)2+ y2= a2(a≠ 0) 上且过原点 圆心在 y 轴 x2 +(y- b)2 = b2 (b≠ 0)

上且过原点 圆与 x 轴相切 (x- a)2+ (y- b)2= b2 (b≠ 0) 2 2 2 圆与 y 轴相切 (x- a) + (y- b) = a (a≠ 0) 圆与两坐标 2 2 2 (x- a) + (y- b) = a (|a|= |b|≠ 0) 轴都相切

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知识要点二：点与圆的位置关系 在坐标平面上确立一个圆之后，平面被圆分成三个部分，即圆上的点，圆内的点及圆外 的点，那么如何判断点与圆的这三种位置关系呢？有两种方法： (1)将所给的点 M 与圆心 C 的距离跟半径 r 比较： 若 |CM|= r,则点 M 在圆 C 上； 若 |CM|>r,则点 M 在圆外； 若 |CM|<r,则点 M 在圆内. (2)可利用圆的标准方程来确定. 点 M(m, n)在圆 C 上 (m- a)2+(n- b)2 = r2; 2 2 2 点 M(m, n)在圆 C 外 (m- a) +(n- b) >r ; 点 M(m, n)在圆 C 内 (m- a)2+(n- b)2 <r2 .

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求圆的标准方程 【例 1】 写出下列各圆的标准方程. (1)圆心在原点，半径为 8; (2)圆心在(2,3),半径为 2; (3)圆心在(2,- 1)且过原点. 思路点拨：解答本题可直接利用圆的标准方程求解，第 (3)问可先利用两点间距离公式求 出半径，再用圆的标准方程求解. 解：设圆的标准方程为(x- a)2+(y- b)2 = r2. (1)∵圆心在原点，半径为 8,即 a= 0, b= 0, r= 8, ∴圆的方程为 x2+ y2= 64. (2)∵圆心为(2,3),半径为 2,即 a= 2, b= 3, r= 2, ∴圆的方程为 (x- 2)2+ (y- 3)2= 4. (3)∵圆心在(2,- 1)且过原点， ∴ a= 2, b=- 1, r= 2- 0 2+ - 1- 0 2= 5. ∴圆的方程为 (x- 2)2+ (y+ 1)2= 5.这类题目的关键是求圆心和半径，知道圆心和半径后，可直接套用圆的标准 方程. 首页

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【例 2】 已知圆过两点 A(3,1)、 B(- 1,3),且它的圆心在直线 3x- y- 2= 0 上，求此圆 的方程.

思路点拨：由已知条件可设出圆的标准方程，利用待定系数法或几何性质确定圆心坐标 和半径.解：法一：设所求圆的方程为(x- a)2+ (y- b)2= r2,

依题意 - 1- a + 3- b = r , 3a- b- 2= 0, a= 2, a + b - 6a- 2b= r - 10, 即 a + b + 2a- 6b= r - 10, 解得 b= 4, r= 10. 3a- b- 2= 0, 3- a 2+ 1- b 2= r2,2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以所求圆的方程是(x- 2)2+(y- 4)2= 10.首页

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3- 1 1 法二：直线 AB 的斜率 k= =- ,可知 AB 垂直平分线 m 的

斜率为 2. - 1- 3 2 A、 B 中点的横坐标和纵坐标分别为 3- 1 1+ 3 x= = 1, y= = 2. 2 2 因此 m 的方程为 y- 2= 2(x- 1),即 2x- y= 0. 又圆心在直线 3x- y- 2= 0 上，所以圆心在这两条直线的交点上.联立方程组

2x- y= 0 x= 2, 得 3x- y- 2= 0 y= 4.

设圆心为 C,所以圆心坐标为 (2,4). 又半径 r= |CA|= 10, 2 2 则所求圆的方程是 (x- 2) +(y- 4) = 10.

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