直线型几何-初中数学联赛题型解读系列(七)

联赛题型解读之七——直线型几何

作为中学竞赛四大模块之一，几何是最能衡量一个初中生思维和空间想象能力的模块。

下面我们通过统计近15年初中数学联赛中整式的分值（注：至少在结构和形式上是对

整式的考察才会计入分值统计）

，

帮助大家更好的了解整式这个模块的考察比重和题型分布。

总结这几年来初中数学联赛的专题考察题型，纯粹直线型几何的考察会在1到2题左右，考察的分值最高达到32分（1道一试题外加1道二试题），结合这几年的真题看来，二试中对圆的考察再加强，所以自然会导致直线型几何放在一试中考察，一般来说一试的几何题会有两道，至少有一道是直线型几何问题。

初中几何知识包括：三角形的线与角，全等三角形，几何变换，四边形，平行线分线段成比例，相似三角形，没涅劳斯定理，赛瓦定理，圆，四点共圆，五心。这里我们将前八项归类为直线型几何。

直线型几何中的细分来说包含了：三角形与全等，四边形，比例线段及相似，三个大部分，这里简单的介绍前三个部分的基础知识和常见模型。 1. 三角形与全等

这里介绍常用的八个乘法公式： （1） 三角形的边与角

边：两边之和大于第三边

角：三角形内角和180°；外角等于不相邻的两个内角之和； 边与角：大角对大边；大边对大角.

（2） 特殊三角形

等腰三角形：底边上的中线，高线，角平分线三线合一； 等边三角形：三边相等，三个内角均为180°； 直角三角形：勾股定理；斜边中线等于斜边一半。

（3） 全等的性质

（4） （5） （6）

对应角相等；对应线段（边，中线，角分线，高线，周长）相等 全等的判定

SSS;SAS;ASA;AAS;HL； 三大几何变换

平移；旋转；轴对称; 常见辅助线

倍长中线；斜边中线；中位线；截长补短；平移；翻折；旋转。

2. 四边形

（1） 平行四边形

a) 性质：对边平行且相等；对角线互相平分；中心对称；

b) 判定：两组对边平行；两组对边相等；一组对边平行且相等；对角线互相

平分；

c) 矩形：四个角都是直角；对角线相等； d) 菱形：四条边相等；对角线互相垂直；

e) 正方形：四条边相等；四个角都是直角；对角线互相垂直平分且相等。

（2） 梯形

a) 分类：普通梯形；直角梯形；等腰梯形；

b) 梯形处理方法：垂线；中位线；转化为三角形和平行四边形来处理；

3. 比例线段

（1） 平行线分线段成比例

AC∥BD,则

OAOCAC

；反之亦然； OBODBD

（2） 束线模型

M

N

AC∥BD,则

AMBN

；

MCND

（3） 梅涅劳斯定理

B

（4） 赛瓦定理

对于 ABC,有

AFBDCE

1 D、E、F三点共线 FBDCEA

C

D

B

D

对于 ABC,

AFBDCE

1 AD、BE、CF交于一点 FBDCEA

C

4. 相似

简单的介绍一下初中阶段可以学习和使用的10种常见因式分解的方法： （1） 判定

三边对应成比例；两个角相等；两边对应成比例且夹角相等；直角三角形斜边与一直角边对应成比例；

（2） 常见模型

A

B

E

A

C

C

、解三角形【例1】 （1996年联赛）如图，在 ABC中，AB AC, ABN MBC,MB MN,BN a，

则点N到边BC的距离等于______．

A

B

【思路】此题已知边，显然去探寻角度关系找出 NBC的大小即可。

C

2、全等

【例2】 （2012年联赛） ACP 20 ，在 ABC中，已知AB AC, A 60 ，P为AB上一点，

则

BC

_______． AP

【思路】此题利用等腰构造全等，利用特殊角求比例。

【例3】 （2010年联赛）在 ABC中，已知 CAB 60 ，D，E分别是边AB，AC上的

点，且 AED 60 ，ED DB CE， CDB 2 CDE,则 DCB ( ) A．15

【例4】 （2009年联赛）已知△ABC中， ACB 90，AB边上的高线CH与△ABC的两

条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点PM、QN的中点分别为E、F．求证：DE∥AB．

A

H

N

FPE

C

B

M

B．20 C．25 D．30

【思路】此题利用等腰构造全等，利用特殊角求比例。

【思路】直角交角分线得到等腰三角形，利用常见角分线模型，然后找到中位线。

【例5】 （2003年联赛）在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，

使DE DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．求证： PAE PBF．

F

【思路】中点可以倍长，中位线，斜边中线等等。

3、四边形

【例6】 （1997年联赛）在梯形ABCD中,AD DC, B 300, C 600,E,M,F,N分别

为AB,BC,CD,DA的中点,已知BC=7,MN=3,则EF之值为( )

A．4 B．4.5 C．5 D．6

B

【思路】互余，补成直角三角形，利用中位线，斜边中线。

D

M

C

【例7】 （2004年联赛）已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC，以两腰AB，CD为一边分

别向两边作正方形ABGE和DCHF，连接EF，设线段EF的中点为M．求证：MA MD．

l

E

G

MH

F

【思路】看见正方形：旋转全等，三垂直，弦图三个差不多的东西必须在脑海中闪现。

4、线段比例

⑴ 面积

【例8】 （2003年联赛）△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且

取一点E，使四边形DECB的面积为A．

AD1

．若在边AC上AB3

3CE，则的值为（ ） 4EA1

4

D．

1 2

1B．

3

C．

1 5

【思路】用共边定理将面积与比例联系起来。

⑵ 平行线分线段成比例

【例9】 (2012年联赛)已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，

连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（ ） A

．

3

B

．

3

C

．

3

D

．

3

【思路】平行线得到比例，再用勾股定理。

5、相似三角形

【例10】 （2008年联赛）如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两

点，且AM MAN 135，则四边形AMCN的面积为__________．

N

A

C

M

【思路】通过角度关系寻找相似找到比例，利用等腰直角三角形和勾股定理

【例11】 （2007年联赛）如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的

延长线与BA的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N．证明： AFN DME．

P

A

MD

NC

B

【思路】寻找平行的充分条件：比例线段；利用平行倒比例推出想要的比例。

【例12】 （1994年联赛）在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC 6，CA 7，

AB 8，则DE _____．

E

C

【思路】角平分线、相似与勾股定理

【例13】 （1988年联赛）如图4，△PQR和△P Q R 是两个全等的等边三角形，六边形

ABCDEF的边长分别记为：AB a1，BC b1，CD a2，DE b2，EF a3，…… 此处隐藏：1821字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……