数学物理方程习题解答案

数学物理方程复习资料

数学物理方程习题解

习题一

1，验证下面两个函数：

u(x,y) 都是方程

u(x,y) exsiny

uxx uyy 0

的解。

证明：（1

）u(x,y)

1

ux ( )

2

1(x y)

2

322

2x

xx2 y2

x2 y2 x 2xx2 y2

uxx 2

(x2 y2)2(x y2)2

11y 2y

因为uy ( )

322

2x y(x2 y2)2

x2 y2 y 2yy2 x2

uyy 2

222(x y)(x y2)2x2 y2y2 x2

uxx uyy 2 0

(x y2)2(x2 y2)2

所以u(x,y) xuxx uyy 0的解。

（2）u(x,y) esiny 因为

ux siny ex,uxx siny exuy e cosy,uyy e siny

所以

uxx uyy esiny e

x

x

x

x

siyn 0

u(x,y) exsiny是方程uxx uyy 0的解。

2，证明：u f(x)g(y)满足方程

uuxy uxu y0

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其中f和g都是任意的二次可微函数。

证明：因为

u f(x)g(y)

所以

ux g(y) f (x),uy f(x) g (y)uxy f (x) g (y)

uuxy uxuy f(x)g(y) f (x)g (y) g(y)f (x) f(x) g (y) 0

得证。

3， 已知解的形式为u(x,y) f( x y)，其中 是一个待定的常数，求方程 uxx 4uxy 3uyy 0 的通解。

解：令 x y则u(x,y) f( )

所以ux f ( ) ,uxx f ( ) 2

( uxy f ( ),uy f ( ),uyy f

将上式带入原方程得( 4 3)f ( ) 0

2

因为f是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以 -4 3 0 从而 1 =3, 2 1，

2

故u1(x,y) f1(3x y),u2(x,y) f2(x y)都是原方程的解，f1,f2为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有

u(x,y) f1(3x y) f2(x y)为通解。

4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。 解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相

同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为x轴。在杆上任意截取位于

杆的截面积为s，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应[x,x x]的一段微元，

u u

(x,t)与(x x,t)，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的 x x

u u

(x,t)与SE(x x)(x x,t)，因此微元受杆的截去部分的拉力分别为SE(x) x x

u u

(x x,t) SE(x)(x,t) 作用力的合力为：SE(x x) x x

变）分别是

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2u

且合力的正向与坐标轴相同，设为微元质心的坐标，则质心处的加速度为2(,t)，

x

由牛顿第二定律有：

2u u u

x s x 2(,t) sE x x x x,t sE x x,t , x x x

x x x

约去s，并对右端应用中值定理，得

2u u

x x 2(,t) [E x ]x x x x, 0 1

x x x

约去 x，并令 x 0，即得：

u u

x Ex t t x x

由于弹性杆是均匀的， x （常数），E x E（常数）

2

2uE2 u2

a 从而2 a，其中（E是杨氏模量， 是体密度）。

t x2

5， 一均匀细杆直径为l，假设它的同一横截面上温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从规律 dQ K1(u u1)dSdt

记杆的体密度为 ，比热为C,热传导系数为K.试导出此时温度u满足的微分方程。 解：取杆轴为x，考察杆位于 x1,x2 段在 t1,t2 时间区间上的热平衡，在 t1,t2 时间内，

x1,x2 段的侧面流入的热量为：

Q1

t1

t2x2

x1

K1(u u1) ldxdt

在点x1，x2处截面流入该段的热量为：

Q2

所以

t2

t1

t2 u l2 u l2

K(x1,t)dt,Q3 K(x2,t)dt

t1

x4 x4

Q Q1 Q2 Q3

t2

t1

x2

x1

t2x2 2u l2

K2(x,t) K1(u u1) ldxdt

t1x1

x4

温度升高所吸收的热量：

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Q C x (x)S u(x,t2) u(x,t1) dx

x1

x2

u

t1 x1 tt2x2 l2 u c dxdt

t1x1

4 t

t2

x2

c s

由能量守恒定律得：

t1

t2x2

x1

[

l2c u

4 2U l2 K2 K1(u u1) l]dxdt 0 t x4

由x1,x2,t1,t2的任意性，有

uk 2u4k1

(u u1)。 tc x2c l

6,设某溶质在溶液中扩散，它在时刻t溶液中点(x,y,z)处的浓度用函数u(x,y,z,t)表示，试导出u所满足的微分方程。 解：由Nernst定律得

dm D(x,y,z)

u

dsdt n

上式中u表示扩散物质浓度，dm为在dt时间内经过面ds扩散物质的量，D(x,y,z)为扩散系数。

在 t1,t2 时段内通过边界曲面S流入区域 的质量为

m

t2

t1t2

D

s

udsdt n

u u u

(D) (D) (D)]dxdydzdt x x y y z z

t1t2

[

t1

2u 2u 2u

D(2 2 2)dxdydzdt x y z

从时刻t1到t2， 中该物质质量的增加为：

[u(x,y,z,t) u(x,y,z,t)]dxdydz

2

1

t2

t1

u

t

从而，由质量守恒定律有

t2

t1

t2 u 2u 2u 2u

D( )dxdydzdt dtdxdydz 222 t1 x y z t

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交换积分次序可得：

t2

t1

2u 2u 2u u

[D(2 2 2) ]dxdydzdt 0 x y z n

由于t1，t2在区域 都是任意的，可以得到

u 2u 2u 2u

D(2 2 2)

t x y z

7,一根均匀杆原长l，一段固定，另一端拉长 而静止，然后突然放手任其振动，试写出其

定解问题。

解：设点在x 0处固定，在x l处拉长 而静止，然后突然放手任其振动，则方程为

utt a2uxx,0 x l,t 0。

边界条件为：u初始条件为：u

x 0

0,

u xx,ut

x l

0； 0。

x(l x)

，试写出其定解问题。 2

l

t 0t 0

8，长为l的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q，杆的初始温度分布是解：侧面绝热，方程为

ut a2uxx,0 x l,t 0 边界条件为 u初始条件为 u

t 0x 0

0,ux

x l

q

,t 0 k

x(l x)

,0 x l 2

9，长度为l的均匀细杆，初始温度为0℃，端点x 0处保持常温u0，而在x l处和杆的侧面热量可以散发到周围介质中去，设周围介质的温度为0℃。试列出杆上的温度分布函数

u(x,t)所满足的定解问题。

解：类似第5题，可得方程ut a2uxx b2u,0 x l,t 0。其中 a

2

4kk2

，b 1 c c l u

hu)x l 0 x

边界条件为: u初始条件为：u

x 0

u0,(

t 0

0

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