不定积分概念与性质

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第五章 不定积分本章的教学基本要求是： 本章的教学基本要求是： 1、理解原函数和不定积分的定义，掌握 、理解原函数和不定积分的定义， 原函数和不定积分的性质； 原函数和不定积分的性质； 2、熟练掌握不定积分的基本公式及凑微 、 分法； 分法； 3、熟练掌握不定积分的换元积分法和分 、 部积分法。 部积分法。

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第一节

不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、小结

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一、原函数与不定积分的概念定义： 定义： 如果在区间 I 内，可导函数 F ( x ) 的 定义导函数为 f ( x ) , x ∈ I ,都有 F ′( x ) = f ( x ) 即

或 dF ( x ) = f ( x )dx ,那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )或 f ( x )dx 在区间 I 内 原函数(.primitive function ) 原函数.

例

(sin x )′ = cos x′

sin x 是 cos x 的原函数 的原函数.

1 (ln x ) = ( x > 0) x 1 ln x 是 在区间( 0,+∞ ) 内的原函数 内的原函数. x

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定理 原函数存在定理： 原函数存在定理： 如 果 函 数 f ( x )在 区 间 I 内 连 续 ， 那么在区间 I 内存在可导函数 F ( x ) , 使 x ∈ I ,都有 F ′( x ) = f ( x ) . 简言之：连续函数一定有原函数. 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： 原函数是否唯一？ 问题： (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 若不唯一它们之间有什么联系？ ′ 例 (sin x ) = cos x (sin x + C )′ = cos x 为任意常数) ( C为任意常数)

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关于原函数的说明： 关于原函数的说明：(1)若 F ′( x ) = f ( x ) ,则对于任意常数 C , )

F ( x ) + C 都是 f ( x ) 的原函数 的原函数. 的原函数, (2)若 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数 ) 则 F ( x ) G ( x ) = C ( C为任意常数) 为任意常数) 证 ∵ [F ( x ) G ( x )]′ = F ′( x ) G ′( x ) = f ( x) f ( x) = 0 ∴ F ( x ) G ( x ) = C ( C为任意常数) 为任意常数)

F . 说明 ( x) + c是f ( x)的全部原函数

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定义 不定积分(indefinite integral)的定义： 的定义：在区间 I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意常数项的原函数 称为 f ( x ) 在区间 I 内的不定积分， 不定积分，记为 ∫ f ( x )dx .

被 ∫积 f (被 x )dx = F ( x原 ) + C任 积 分 号 积 函 数 积 表 达 式 分 变 量 函 数 意 常 数

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不定积分与导数的关系 : d [ ∫ f ( x ) dx ] dx = f ( x)

或 d [ ∫ f ( x ) dx = f ( x ) dx

∫ F '( x ) dx = F ( x ) + c dF ( x ) = F ( x ) + c ∫ ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c

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例1 求 解:6

∫ x dx .′

5

x x 5 5 ∵ = x , ∴ x dx = + C. 6 6

∫

6

1 dx . 例2 求 ∫ 2 1+ x解: ∵

1 (arctan x ) = , 2 1+ x 1 dx = arctan x + C . ∴ ∫ 2 1+ x

′

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例3 某商品的边际成本为 100 2 x ,

求 总成 本函数 C ( x ) .

解:

C( x) = ∫ (100 2x)dx

= 100 x x + c2

其中

c 为任意常数

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二、不定积分的几何意义积分曲线. 函数 f ( x ) 的原函数的图形称为 f ( x ) 的积分曲线

显然，求不定积分得到一积分曲线族,在同一横 显然，求不定积分得到一积分曲线族 在同一横 积分曲线族 坐标 x = x0 处,任一曲线的切线有相同的斜率 任一曲线的切线有相同的斜率 任一曲线的切线有相同的斜率.y

0

x0

x

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三、 基本积分表′ x xµ+1 实例 = xµ ∫ xµdx = + C. µ +1 µ + 1 (µ ≠ 1)µ+1

能否根据求导公式得出积分公式？ 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式. 因此可以根据求导公式得出积分公式

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基 本 积 分 表

(1)

x (2) ∫ x dx = + C (µ ≠ 1); µ +1 dx (3) ∫ = ln x + C ; x dx 说明： 说明： x > 0, ∫ x = ln x + C , 1 1 ( x )′ = , x < 0, [ln( x )]′ =µ

是常数); kdx= kx+ C (k是常数 ∫µ+1

dx dx = ln | x | + C , ∫ = ln( x ) + C , ∴ ∫ x x

x

x

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1 ( 4) ∫ dx = arctan x + C ; 2 1+ x( 5)

∫

( 6)(7)( 8)

∫ cos xdx = sin x + C ; ∫ sin xdx = cos x + C ; 2 dx = ∫ sec xdx = tan x + C ; ∫ cos 2 x

1 dx = arcsin x + C ; 2 1 x

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dx 2 (9) ∫ 2 =∫ csc xdx = cot x + C ; sin x (10) ∫ sec x tan xdx = sec x + C ;(11) ∫ csc x cot xdx = csc x + C ;

(12)

(13)

∫ e dx = e x+ C ; a x ∫ a dx = ln a + C ;x

x

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基本积分表

导数基本公式C ’=0 (C为常数) 为常数) 为常数 (xn)’= n xn-1 (lnx) ’=1/x (ax)’= axlna (ex) ’= ex (sinx) ’=cosx (cosx) ’=-sinx

∫0dx=c ∫xndx = xn+1 /(n+1)+c ∫1/xdx= ln|x|+ c ∫axdx= ax/lna + c ∫exdx= ex + c ∫cosxdx=sinx + c ∫sinxdx=-cosx + c

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∫sec2xdx= tanx+c ∫csc2xdx= -cotx+c ∫secx. tanxdx= secx+c ∫cscx. cotxdx= -cscx+c ∫1/(1-x2)1/2dx= arcsinx+c ∫1/(1+x2) dx= arctanx+c

(tanx) ’=sec2x (cotx) ’=-csc2x ( secx ) ’=secx. tanx (cscx) ’=- cscx. cotx (arcsinx) ’=1/(1-x2)1/2 ( arctanx) ’=1/(1+x2)