常见幂的大小比较技巧及幂的运算误区

专训2　常见幂的大小比较技巧及幂的运算误区名师点金：

1.对于幂，由于它包含底数、指数、幂三种量，因此比较大小的类型有：比较幂的大小，比较指数的大小，比较底数的大小．

2．幂的相关运算法则种类较多，彼此之间极易混淆，易错易误点较多，主要表现在混淆运算法则，符号辨别不清，忽略指数“1”等．

1.幂的大小比较的技巧

比较幂的大小

指数比较法方法11．已知a ＝8131，b ＝2741，c ＝961，则a ，b ，c 的大小关系是(　　)

A ．a ＞b ＞c

B ．a ＞c ＞b

C ．a ＜b ＜c

D ．b ＞c ＞a

底数比较法

方法22．350，440，530的大小关系是(　　)

A ．350＜440＜530

B ．530＜350＜440

C ．530＜440＜350

D ．440＜530＜350

作商比较法

方法33．已知P ＝，Q ＝，那么P ，Q 的大小关系是(　　)999999119

990A ．P ＞Q B ．P ＝Q

C ．P ＜Q

D ．无法比较

比较指数的大小

4．已知x a ＝3，x b ＝6，x c ＝12，那么下列关系正确的是(　　)

A ．a ＋b ＞c

B ．2b ＜a ＋c

C ．2b ＝a ＋c

D ．2a ＜b ＋c

比较底数的大小

5．已知a ，b ，c ，d 均为正数，且a 2＝2，b 3＝3，c 4＝4，d 5＝5，那么a ，b ，c ，d 中最大的数是(　　)

A ．a

B ．b

C ．c

D ．d

2．幂的运算之误区

混淆运算法则

6．下列计算正确的是(　　)

A ．a 2＋a 3＝a 5

B ．a 2·a 3＝a 5

C ．(a 2)3＝a 5

D ．a 3÷a 2＝a 5

7．下列运算中，结果是a 6的是(　　)

A ．a 2·a 3

B ．a 12÷a 2

C ．(a 3)3

D ．(－a)6

8．计算(2a)3的结果是(　　)

A ．6a

B ．8a

C ．2a 3

D ．8a 3

9．计算：

(1)(a 3)2＋a 5；

(2)a 4·a 4＋(a 2)4＋(－4a 4)2.

符号辨别不清

10．计算的结果是(　　)(－12ab 2)

3 A .a 3b 6　 B .a 3b 5　 C ．－a 3b 5　 D ．－a 3b 618181818

11．计算－[(－a)3]2的结果是________．

12．计算：

(1)(－a 2)3；　　　　　(2)(－a 3)2；

(3)[(－a)2]3; (4)a·(－a)2·(－a)7.

忽略指数“1”

13．下列算式中，正确的是(　　)

A．3a3·2a2＝6a6B．2x3·4x5＝8x8

C．3x·3x4＝9x4D．5y7·5y7＝10y14

不能灵活运用整体思想

14．化简：

(1)(x＋y)5÷(－x－y)2÷(x＋y)；

(2)(a－b)9÷(b－a)4÷(a－b)3.

不能灵活运用转化思想

15．(1)若3x＋2y－3＝0，求27x·9y的值；

(2)已知3m＝6，9n＝2，求32m－4n＋1的值．

答案

1．A　点拨：因为a＝8131＝(34)31＝3124，b＝2741＝(33)41＝3123，c＝961＝(32)61＝3122，而124>123>122，所以3124>3123>3122，即a>b>c，故选A.本题采用的是指数比较法．将比较大小的各个幂的底数化为相同的底数，然后根据指数的大小关系确定出幂的大小．2．B　点拨：因为350＝(35)10＝24310，440＝(44)10＝25610，530＝(53)10＝12510，而125<243<256，所以12510<24310<25610，即530＜350＜440，故选B.本题采用的是底数比较法．将比较大小的各个幂的指数化为相同的指数，然后根据底数的大小关系确定出幂的大

小．

3．B 　点拨：因为＝×＝×＝×＝1，所以P ＝Q ，P Q 999999990119（9×11）999999011999×119999

990

119故选B .本题采用的是作商比较法．当a>0，b>0时，利用“若>1，则a>b ；若＝1，则a a b a b

＝b ；若<1，则a<b ”比较．a b

4．C 　点拨：因为x a ＝3，x b ＝6＝2×3，x c ＝12＝22×3，

而(2×3)2＝3×(22×3)，

所以(x b )2＝x a ·x c ，即x 2b ＝x a ＋c .所以2b ＝a ＋c.故选C .

5．B 　点拨：直接比较四个数的大小较烦琐，可两个两个地比较，确定最大的数．因为(a 2)3＝a 6＝23＝8，(b 3)2＝b 6＝32＝9，

所以a 6<b 6.所以a<b.

因为(b 3)4＝b 12＝34＝81，(c 4)3＝c 12＝43＝64，

所以b 12>c 12.所以b ＞c.因为(b 3)5＝b 15＝35＝243，(d 5)3＝d 15＝53＝125，

所以b 15>d 15.所以b>d.综上可知，b 是最大的数，故选B .

6．B 　7.D 　8.D

9．解：(1)(a 3)2＋a 5＝a 6＋a 5.

(2)a 4·a 4＋(a 2)4＋(－4a 4)2

＝a 8＋a 8＋16a 8

＝18a 8.

10．D 　11.－a 6

12．解：(1)(－a 2)3＝－a 6.

(2)(－a 3)2＝a 6.

(3)[(－a)2]3＝a 6.

(4)a·(－a)2·(－a)7＝a·a 2·(－a 7)＝－a 10.

13．B

14．解：(1)原式＝(x ＋y)5÷(x ＋y)2÷(x ＋y)＝(x ＋y)2.

(2)原式＝(a －b)9÷(a －b)4÷(a －b)3＝(a －b)2.

15．解：(1)27x ·9y ＝(33)x ·(32)y

＝33x·32y

＝33x＋2y，

因为3x＋2y－3＝0，

所以3x＋2y＝3.

所以原式＝33＝27. (2)32m－4n＋1＝32m÷34n×31＝(3m)2÷(32n)2×3

＝(3m)2÷(9n)2×3

＝36÷4×3

＝27.