第三章 非线性回归分析(计量经济学-南京财经大学-陈耀辉)

第三章 非线性计量经济模型一、非线性模型的线性化

二、非线性模型的参数估计三、一个例子

一、非线性模型的线性化⑴ 指数函数模型 yt = ae t t (3.1) b>0 和 b<0 两种情形的图形分别见图 3.1 和 3.2。 显然 xt 和 yt 的关系是 非线性的。对上式等号两侧同取自然对数，得 Lnyt = Lna + b xt + ut 令 Lnyt = yt*, Lna = a*, 则 yt* = a* + bxt + ut (3.3) 变量 yt* 和 xt 已变换成为线性关系。其中 ut 表示随机误差项。 (3.2)bx u

图 3.1 yt =

ae bxt ut

, (b > 0)

图 3.2 yt =

ae bxt ut

, (b < 0)

⑵ 对数函数模型 yt = a + b Ln xt + ut (3.4)

b>0 和 b<0 两种情形的图形分别见图 3.3 和 3.4。 t 和 yt 的关系是非线性的。 xt* = Lnxt, x 令 则 yt = a + b xt* + ut 变量 yt 和 xt* 已变换成为线性关系。 (3.5)

图 3.3

yt = a + b Lnxt + ut , (b > 0)

图 3.4

yt = a + b Lnxt + ut , (b < 0)

⑶ 幂函数模型 yt = a x t b e t (3.6) b 取不同值的图形分别见图 3.5 和 3.6。xt 和 yt 的关系是非线性的。对上式等号两 侧同取对数，得 Lnyt = Lna + b Lnxt + ut (3.7) 令 yt* = Lnyt, a* = Lna, xt* = Lnxt, 则上式表示为 yt* = a* + b xt* + ut (3.8) 变量 yt* 和 xt* 之间已成线性关系。其中 ut 表示随机误差项。(3.7) 式也称作全对数 模型。u

e ut图 3.5 yt = a xt b 图 3.6 yt = a xt b

e ut

⑷ 双曲线函数模型 1/yt = a + b/xt + ut 也可写成， yt = 1/ (a + b/xt + ut) (3.9) (3.10)

b>0 情形的图形见图 3.7。xt 和 yt 的关系是非线性的。令 yt* = 1/yt, xt* = 1/xt,得 yt* = a + b xt* + ut 已变换为线性回归模型。其中 ut 表示随机误差项。

图 3.7

yt = 1/ (a + b/xt ),

(b > 0)

图 3.8

yt = a + b/xt ,

(b > 0)

⑸ 多项式方程模型 一种多项式方程的表达形式是 yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut (3.12)

其中 b1>0, b2>0, b3>0 和 b1<0, b2>0, b3<0 情形的图形分别见图 3.9 和 3.10。 xt 1 = xt,t 2 = xt2, 令 x 3 xt 3 = xt ,上式变为 yt = b0 +b1 xt 1 + b2 xt 2 + b3 xt 3 + ut (3.13) 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本曲线与图 3.9 相似。

图 3.9 yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut

图 3.10 yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut

另一种多项式方程的表达形式是 y t = b 0 + b 1 x t + b 2 xt2 + u t (3.14)

其中 b1>0, b2>0 和 b1<0, b2<0 情形的图形分别见图 3.11 和 3.12。令 xt 1 = xt,x t 2 = xt 2,上 式线性化为， yt = b0 + b1 xt1 + b2 xt2 + ut (3.15) 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与图 3.11 相似。

图 3.11 yt = b0 +b1xt + b2xt2 + ut

图 3.12 yt = b0 + b1xt + b2xt2 + ut

⑹ 生长曲线 (logistic) 模型 yt =k 1 e f (t ) ut k 1 e ( a0 at ) uu k 1 be at ut

(3.16)

一般 f(t) = a0 + a1 t + a2 t 2 + … + an t n,常见形式为 f(t) = a0 - a t yt =e a0

=

(3.17)

其中 b = 。a > 0 情形的图形分别见图 3.13 和 3.14。美国人口

统计学家 Pearl 和 Reed 广泛研究了有机体的生长，得到了上述数学模型。生长模型 (或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed 曲线)常用于描述有机体生长发育过程。 Limy t = k,Limy t = 0。a, b 为待 其中 k 和 0 分别为 yt 的生长上限和下限。t t

Lnb k 估参数。曲线有拐点，坐标为( a 2 ,

) ,曲线的上下两部分对称于拐点。

图 3.13 yt = k / (1 +

be at u t

)

图 3.14 yt = k / (1 +

be at u t

)

为能运用最小二乘法估计参数 a, b,必须事先估计出生长上极限值 k。线性化过 程如下。当 k 给出时，作如下变换， at u tbe

k/yt = 1 + 移项， k/yt - 1 =

be at u t

取自然对数，Ln ( k/yt - 1) = Lnb - a t + ut 令 yt* = Ln ( k/yt - 1), b* = Lnb, 则 yt* = b* - a t + ut 此时可用最小二乘法估计 b*和 a。

(3.18)

(3.19)

⑺ 龚伯斯(Gompertz)曲线 英国统计学家和数学家最初提出把该曲线作为控制人口增长的一种 数学模型，此模型可用来描述一项新技术，一种新产品的发展过程。曲 线的数学形式是，yt = Limy 曲线的上限和下限分别为 k 和 0, t = k, Limy tt t

be at ke

= 0。 b 为待估参数。 a,

曲线有拐点，坐标为( a e,

Lnb k

) ,但曲线不对称于拐点。一般情形，上

限值 k 可事先估计，有了 k 值，龚伯斯曲线才可以用最小二乘法估计参 数。线性化过程如下：当 k 给定时， yt / k = be at e

,

Ln (k/yt) = be , 令 y*= Ln[Ln(k/yt)], b* = Lnb,则 y* = b* - a t 上式可用最小二乘法估计 b* 和 a。

at

k/yt =

be at e

Ln[Ln(k/yt)] = Lnb - a t

图 3.15

yt =

be at ke

Cobb-Douglas 生产函数 下面介绍柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数。其形式是 Q = k L C 1- (3.24)

其中 Q 表示产量；L 表示劳动力投入量；C 表示资本投入量；k 是常 数；0 < < 1。这种生产函数是美国经济学家柯布和道格拉斯根据 1899-1922 年美国关于生产方面的数据研究得出的。更习惯的表达形 式是 y t = 0 x t1 1 x t 2 2 e u t (3.25) 这是一个非线性模型，无法用 OLS 法直接估计，但可先作线性化处 理。上式两边同取对数，得： Lnyt = Ln 0 + 1 Lnxt 1 + 2 Lnxt 2 + ut (3.26) 取 yt* = Lnyt, 0* = Ln 0, xt 1* = Ln xt 1, xt 2* = Ln xt 2,有 yt*= 0* + 1 xt 1* + 2 xt 2* + ut (3.27)

上式为线性模型。用 OLS 法估计后，再返回到原模型。若回归参数

1 + 2 = 1,称模型为规模报酬不变型； 1 + 2 > 1,称模型为规模报酬递增型； 1 + 2 < 1,称模型为规模报酬递减型。对于对数线性模型， Lny = Ln 0 + 1 Lnxt1 + 2 Lnxt2 + ut , 1 和 2 称作 弹性系数。以 1 为例，x t 1 y t Lny t y t / y t y t 1 y t 1 = Lnx = = x / x = y x 1 t1 t1

t1 t t1 x t 1 x t 1

(3.28)

可见弹性系数是两个变量的变化率的比。 注意， 弹性系数是一个无量纲参 数，所以便于在不同变量之间比较相应弹性系数的大小。 对于线性模型，yt = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + ut , 1 和 2 称作边际系数。 以 1 为例， y t 1 = xt 1

(3.29)

通过比较(3.28)和(3.29)式，可知线性模型中的回归系数(边际系数)是对 数线性回归模型中弹性系数的一个分量。

例 1:此模型用来评价台湾农业生产效率。用台湾 1958-1972 年 农业生产总值(yt) ,劳动力(xt1) ,资本投入(xt2)数据为样本 得估计模型，

Lny t = -3.4 + 1.50 Lnxt1 + 0.49 Lnxt2

(3.30)

R2 = 0.89, 还原后得， yt

(2.78)

(4.80)

F = 48.45

= 0.713 xt11.50 xt20.49 (3.31) 因为 1.50 + 0.49 = 1.99,所以，此生产函数属规模报酬递增函数。 当劳动力和资本投入都增加 1%时，产出增加近 2%。

例 2:用天津市工业生产总值(Yt) ,职工 …… 此处隐藏：2546字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……