第二章 连续时间的系统分析

本章学习目标

通过本章学习，应达到以下要求：

（1）掌握LTI连续系统的特性，了解LTI连续系统数学模型的建立及系统的初始条件。

（2）掌握连续系统的零输入响应和零状态响应。（3）掌握典型信号的特性，熟悉信号的运算与变换。（4）掌握冲激信号的性质及连续系统的冲激响应（5）掌握卷积积分及其主要性质，熟悉卷积积分的图解。

2.1引言线性连续时间系统的分析，归结为建立并求解线性微分方程。对于电系统：u (t ) R a.电阻: i (t )

b.电容: c.电感:

du c (t ) ic (t ) c dt

1 u c (t) c

t

i( )d t

dil (t ) ul (t ) l dt

1 il (t ) L ul ( )d

图示RLC电路，以uS(t)作激励，以uC(t)作为响应，由KVL和VAR列方程，并整理得 d 2 uC d uC LC RC uC u S 2 dt dt u C ' (0 ) u C (0 ),

L

R C

uS(t)

uC(t)

二阶常系数线性微分方程。 )作为响应，得方程：如果以i(t i(t)d i (t ) 1 t L Ri (t ) i ( )d uS (t ) dt C

微分方程的求解(经典法)描述LTI连续系统的微分方程是一线性常系数常微分方程，一般形式如下： d nr t dr t d me t de t a a r t bm b1 b0e t n mdt1

dt

0

dt

dt

r t 为其中 e t 为激励信号，有时称为输入信号。 n为微分方程的阶次，响应信号，也称为输出信号。或系统的阶次。由于系统是线性时不变的，所以上述微分方程中的所有系数 ai i 0,1,2, , n , bj j 0,1,2, , m 都是常数。

求解的一般步骤

齐次解：

由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式

A

k 1nke kt注意重根、复根情况处理方法。

特 解：

根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。

全 解：Ak齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数 。

(一)、微分方程的齐次解齐次方程：特征方程：d nr t dr t Cn C1 C0 r t 0 n dt dt Cn n Cn 1 n 1 C1 C0 0

i i 1,2, , n 特征方程的 n个根称为特征根：

微分方程的齐次解的形式取决于特征根的不同情况。

n1）特征根无重根：即 个特征根各不相等，则齐次

解为：n t t t tni12rh t A1e A2e Ane Aie

i 1 1k2）特征根有重根：设 有 重根，则齐次解中相 1k应于 的部分有 项，即：

At1k 1 A2tk 2 Ak e 1t

Ai i 1,2, 其中 为待定系数。由给定的系统初始条件确定。

3）特征根为共轭复根时，齐次解可有两种选择形式，设一对共轭复根为 j

写成复根因子的形式（复函数的形式）：

A j t

1e A j t

2e

这时， 为一对共轭复数。A1,A2

写成实函数解的形式： A1cos t A t

2sin t e

这时， 为两实数。A1,A2

【例题】写出微分方程的齐次解的形式d 2 r t dr t 1) dt 2 3 dt 2 r t 0 d 3 r t d 2 r t dr t 2) dt 3 5 dt 2 8 dt 6 r t 02 1, 2 1, 2 【解】 1)特征方程： 3 2 0,特征根：

t 2 t齐次解的形 A1 e A2 e

A1, A2为待定系数。

1, 2,3 1 j, 3 2)特征方程： 3 5 2 8 6 0,特征根： A1 cos t A2 sin t e t A3e 3t齐次解的形式：其中 A1, A2, A3为待定系数。

是特征 B

d 2 r t dr t de t 3r t e t 【例题】已知微分方程： 2 2 dt dt dt 2 2t e t t e t e 1) 2)

求两种情况下微分方程的特解。2 r t At Bt C【解】 1)设特解： p

drp t d 2 rp t 2 At B, 2 A代入原微分方程得： 2 dt dt

2A 4At 2B 3At2 3Bt 3C t 2 2t解得： 1 2 10 A , B ,C 3 9 27

1 2 2 10 rp t t t 3 9 27

2t r t De【解】 2)设特解： p2 drp t d rp t 2t 2t代入原微分方程得： 2 De, 4 De 2 dt dt

4 De 2t 4 De 2t 3 De 2t 3e 2t解得：3 D 11

3 2t rp t e 11

微分方程由于其特解都与输入信号具有相同的函数形式，也就是说它是完全由输入决定的，因而特解所对应的这一部分响应称为受迫响应或强迫响应。齐次解所对应的部分由于与输入信号无关，也称为系统的自然响应或自由响应。

系统响应也可以分为有零状态响应和零输入响应零输入响应与输入信号无关，因此属于自然响应。 零状态响应既与输入信号有关，也与系统特性有关，

包含了受迫响应，也包含有一部分自然响应。 因而它

微分方程的完全解由齐次解与特解相加得到。其中特解是一确定函数，而齐次解中有 n个未知系数，这n个未知系数或待定系数必须由系统给定的初始条件来确定。即：

r t rh t rp t 其中 rh t 中有 n个待定系数。它们由下面 n个初始条件来确定：

dr 0 d n 1 r 0 r 0 ,, , dt dt n 1

例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

y"(t) 6y'(t) 8y(t) f(t),t 0

初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f(t)=e t ,t>0，求系统的完全响应y(t)。

解: (1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)

特征方程为 6 8 0

特征根为 1 2， 2 4

齐次解yh(t)yh(t) Ae—2t2 Be—4t

2)求非齐次方程 y" (t)+6y' (t)+8y(t)= f(t)的特解yp(t) -t y (t)=Ce p由输入f (t)的形式，设方程的特解为将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。 3)求方程的全解 1 t 2t 4t y (t ) yh (t ) y p (t ) Ae Be e1 y (0) A B 1 3 1 y ' (0) 2 A 4 B 2解得 A=5/2,B= 11/6 3 5 2t 11 4t 1 t y (t ) e e e, t 0 2 6 3通解(自由响应 )特解 (强迫响应 )

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