2011华科期末考试矩阵论答案解析

矩阵论答案解析

2011年矩阵论

一， 填空题：（每小题5分，共25分）

32i 2i

，向量X 1,2,

1T，其中i 1， 设矩阵 A 21 2

013 2i

AX

。

32i 2i 1 3 6i

AX 21 2 2 6

013 2i 1 1 2i ||AX|| 3

2， 由向量 1 (1,2,1)T, 2 (1, 1,2)T生成的R3的子空间V L 1, 2 的正交补子空间V =____________。

随便找一个与 1， 2不相关的向量即可例如：V L(0,0,1)T

3， 设三阶方阵A3×3的奇异值为3,5,2，则AF=__________。

AHA的特征值为9,25,4tr(AHA) 9 25 4 38||A||F (tr(AA)) 38

H

1

2

4， 设线性空间S A R3 3|AT A ，则空间的一组基为_____________。

0 10 00 1 000 100 , 000 , 00 1 . 000 100 010

310

1，则sin(At)=___________。 5， 矩阵A P 031 P

003

3

A的Jordan标准型为J 0

0

130

0 1 .3 tcos3tsin3t0

t2sin3t

2tcos3tsin3t

1 p

sin(At) psin(Jt)p 1

sin3t p 0

0

矩阵论答案解析

31 1

二，（15分）设A 202

1 13

d(eAt)

（1）求矩阵e. （2）求.

dt

At

解(1)| A| 0, 1 2 3 2A的最小多项式m( ) ( 2)2令g( ) c0 c1 ,f(z) etzf(2) e2t c0 2c1f'(2) te2t c1

c0 (1 2t)e2t,c1 te2t.

te2t(1 2t)e2t

te2t

te2t

2t

te

(t 1)e2t

-c1 (t 1)e2t c0 3c1c1

At

e c0 c1A -2c1c0c1 2te2t

-c te2t

-cc 3c1101 3c0 8c1

d(e)

(2) AeAt 2c0 8c1

dt c 4c

1 0

At

c0 4c1 4c1 c0 4c1 (3t 1)e2t

2t

2(2t 1)e

(3t 3)e2t

c0 5c1

2c0 8c1 3c0 9c1

(2t 3)e2t

2(2t 1)e2t 2t (2t 1)e

(2t 1)e2t 4te2t (2t 1)e2t

10

01

， 三，（15分）设矩阵A

20 0-1

（1）求矩阵A的奇异值。 （2）求矩阵A的奇异值分解。

矩阵论答案解析

50 H

解(1)AA 02 ,AA的特征值为 1 5， 2 2

1 0

它们相应的标准正交的特征向量为v1 0 ,v2 1

H

A的奇异值为 1 ， 2 2

1 0

0Av11 Av21 1

(2)u1 ,u .2 1 25220

0 1

1

000

1 000 10 2 U ,V 01 2 000 1

00 0 2

A

150250

01201 2

00

00

00

00

0

2 10 01 0 0

5000

11-11 1

四，（15分）设A 024-2 ， = 1

-115-3 1

（1），求矩阵A的M-P广义逆A+。

（2），在矩阵A的列空间R(A)中求一个向量β，使β与α在二范数意义下距离最近。

矩阵论答案解析

解(1)把HA用行初等变换化成简单阶梯型 11 11 10 32 A 024 2 012 1

115 3 0000 由此可知rank(A) 2.

11 10 32 取B 02 ，C 012 1 ,A BC.

-11

故A CH CCH (BHB) 1BH

1

0 1 138 5 1 10114 82010 11914 5 1

06 121 60 145 32 86

2 1 72 5 (2)方程组Ax 的最佳最小二乘解为1

4721 T15 2 3 4

Ax0

3 2 3 x0 A

五，（15分）设多项式空间P4 x 上线性变换T定义如下：

任取f(x) a0 a1x a2x2 a3x3 P4 X ，

Tf(x) (a0 a1) (a1 a2)x (a2 a3)x2 (a3 a0)x3，

（1） 求T的象空间R（T）的基和维数。

（2） 求T的零空间N（T）的基和维数。

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解(1)因为f(x) 1x

x

2

Tf(x) 1

1 0故T

0 1

0 a0 1

1 10 a1 23 0xxx 001 1 a2 10 a01 3

100

1 10

，rank(T) 3.

01 1

001

a0

a3 1 x a2 a 3 10

1 -1 0 0 1 -1

T的前3列线性无关，故T的象空间R(T)的基为 ，，，维数为3. 001

-1 0 0

1 1 1 1

(3)TX 0，X的一个特解为X0 ，故T的零空间N(T)的基为 ，维数为1.

11 1 1

六，证明题：

（1） （7分）证明对任何方阵A和B，有

A

eA B=eA eB=eB e（A B=A I+I B）。

（2）（8分）设酉空间Vn(C)上的线性空间T：Vn(C) Vn(C),满足条件

, n 下的矩（T ， ）（= ，T ），证明线性变换T在空间的标准正交基 1, 2，

阵A是Hermite矩阵。

矩阵论答案解析

证明：

(1)e A B e A B eA .e B (eA ).( eB)

i 0

Ai Bj(Ai ).( Bj)

i!j 0j!i!j!i 0j 0

(Ai Bj)AiBj

( ) ( ) eA eB

i!j!i 0j 0i 0i!j 0j!

e e (

A

B

i 0

AiBj(Ai Bj)) ( ) i!i!j!j 0j!i 0j 0

(Bj Ai)BjAi

( ) ( ) eB eA

i!j!i 0j 0j 0j!i 0i!

(2)设 1 1 2 2 n n

1 1 2 2 n n.

T 1 2 n 1 2 n A

T , ,T , HT (T )H

1 1 1 1 2 2 2 H 2 A A n n n n 1 1 2 H 2 (A A) 0 n n

由 ， 的任意性可知，A AH故A是Hermite矩阵。

HH

H