高中数学选修人教A学案05独立重复实验与二项分布

2． 2．3独立重复实验与二项分布

教学目标：

知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。 过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：理解n教学难点：能进行一些与n授课类型：新授课课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入： 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；

必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m总是接近n

某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．

3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；

4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0 P(A) 1，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率P(A) 89.事件的和的意义:对于事件A和事件B互斥事件:不可能同时发生的两个事件．P(A B) P(A) P(B)

一般地：如果事件A1,A2, ,An中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1,A2, ,An11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．P(A A) 1 P(A) 1 P(A)

12．互斥事件的概率的求法:如果事件A1,A2, ,An彼此互斥，那么

P(A1 A2 An)＝P(A1) P(A2) P(An)13．相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B14．相互独立事件同时发生的概率：P(A B) P(A) P(B)

一般地，如果事件A1,A2, ,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，P(A1 A2 An) P(A1) P(A2) P(An) 二、讲解新课： 2．独立重复试验的概率公式：

一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个

kk事件恰好发生k次的概率Pn(k) CnP(1 P)n k．

它是 (1 P) P 展开式的第k 1n

3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

kkn k（k＝0,1,2, ，n，q 1 p）．

Pn( k) Cnpq，

kkn k由于Cnpq恰好是二项展开式

00n11n 1kkn knn0(q p)n Cnpq Cnpq Cnpq Cnpq

中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，

kkn k记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记Cnpq＝b(k；n，p)．

三、讲解范例：

例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，

(1)恰有 8 次击中目标的概率；

(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)

解：设X为击中目标的次数，则X～B (10, 0.8 ) .

(1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为

8P (X = 8 ) ＝C10 0.88 (1 0.8)10 8 0.30.

(2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为

P (X≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )

8910C10 0.88 (1 0.8)10 8 C10 0.89 (1 0.8)10 9 C10 0.810 (1 0.8)10 10

0.68.

例2．（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．

解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，

201P(ξ=0)=C2(95%)=0.9025，P(ξ=1)=C2(5%)(95%)=0.095，

22P( 2)=C2(5%)=0.0025．

因此，次品数ξ

例3．>3)．

解：依题意，随机变量ξ～B 5, ．

45 1 6 1 1 5255 1 ∴P(ξ=4)=C =，P(ξ=5)=C5=． 6 67776 6 77764

5

13 3888

例4．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）： ∴P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=

（1）5次预报中恰有4次准确的概率；

（2）5次预报中至少有4解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的

445 4概率P 0.84 0.41 5(4) C5 0.8 (1 0.8)

答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.

（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即

445 45P P C5 0.85 (1 0.8)5 5 5(4) P5(5) P5(4) C5 0.8 (1 0.8)

0.84 0.85 0.410 0.328 答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．

例5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是1，求1小时内5台机床4

中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）

解：记事件A＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于51535

44

1141(1) C (1 )， 1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率P55441小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率P5(0) (1 ) ()，

所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为

P 1 P) 5(0) P5(1

答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37．

点评：“至多”，例6．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？

解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n记事件A＝“射击一次，击中目标”，则P(A) 0.25．

∵射击n次相当于n次独立重复试验，

n∴事件A至少发生1次的概率为P 1 Pn(0) 1 0.75．

1

3n1n由题意，令1 0.75 0.75，∴() ，∴n 4.82， 344lg4

∴n至少取5． lg

答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5例7．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？

解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次， ，直到停9∴从低层到顶层停不少于3次的概率 113131651514919P C9()() C94()4()5 C9()() C9() 2222222

1191923335990129 (C9 C94 C9 C9)()9 2 (C C C)() (2 46)() 999 222256

k1k19 kk19设从低层到顶层停k次，则其概率为C9()() C9()， 222

k19k∴当k 4或k 5时，C9最大，即C9()最大， 2

233答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大． 256

例8．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．

（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．

（2）按比赛规则甲获胜的概率．

解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为11，乙获胜的概率为． 22

记事件A=“甲打完3局才能取胜”，记事件B=“甲打完4局才能取胜”，…… 此处隐藏：4492字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……