太原理工大学高等数学(上)1-1课件

第一节 常量与变量 函数关系一 函数的概念 二 特殊的函数

一、 函数的概念定义1 设 x 和 y 是两个变量， D 是一个给定的 数集，如果对于每个数 x D ,变量 y 按照一定 法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函 数，记作 y f ( x ) 自变量因变量

数集D叫做这个函数的定义域，

当 x0 D 时，称 f ( x0 )为函数在 x0 处的函数值， 函数值全体组成的数集

W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域。

1. 函数的两要素

定义域与对应法则

x ((

D对应法则f

x0 )f ( x0 )

自变量

W

y

)

因变量

约定

定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。

例如 y 1 x 2 1 例如 y 1 x2

D : [ 1,1] D : ( 1,1)

2. 单值函数与多值函数如果自变量在定义域内任取一个数值时, 对应的函数值总是只有一个，这种函数叫 做单值函数，否则叫做多值函数。 例如 x 2 y 2 a 2 ,

y a2 x2

函数的表示方法： 1)表格法2)图形法 3)解析法

二、 几个特殊的函数举例例1 符号函数y 1 o -1 x

1 x 0 y sgn x 0 x 0 1 x 0

x sgn x x

例2

取整函数

y4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 1 2 3 -2 -3 -4

y = [x][x]表示不超过 x 的

4 5

x

最大整数

阶梯曲线在 x 为整数值处 , 图形发生跳跃 , 跃度为1。

例3

狄利克雷函数

1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时y o 无理数点 有理数点 1 x

如果函数在不同的定义区间上用不同的解析式 子表示称为分段函数 , 例1至例3均是分段函数。