数列知识点与常用的解题方法归纳

数列知识点与常用的解题方法归纳

一、 等差数列的定义与性质

定义：an 1 an d(d为常数)，an a1 n 1 d 等差中项：x，A，y成等差数列 2A x y

前n项和Sn

a1 an n na

2

1

n n 1 2

d

性质： an 是等差数列

（1）若m n p q，则am an ap aq；

（2）数列 a2n 1 ， a2n ， kan b 仍为等差数列； Sn，S2n Sn，S3n S2n……仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为a d，a，a d； （4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则

amS2m 1

； bmT2m 1

（5） an 为等差数列 Sn an2 bn（a，b为常数，是关于n的常数项为 0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Sn an2 bn的最值；或者求出 an 中的正、负分界 项，即：

当a1 0，d 0，解不等式组

an 0

可得Sn达到最大值时的n值。

an 1 0

an 0

当a1 0，d 0，由 可得Sn达到最小值时的n值。

a 0 n 1

如：等差数列an，Sn 18，an an 1 an 2 3，S3 1，则n （由an an 1 an 2 3 3an 1 3，∴an 1 1 又S3

a1 a3 ·3 3a

2

2

1，∴a2

1

3

1 1 n

a1 an n a2 an 1 ·n 3 18 ∴Sn

222

n 27）

二、等比数列的定义与性质

定义：

an 1

q（q为常数，q 0），an a1qn 1 an

2

等比中项：x、G、y成等比数列 G xy，或G xy

na1(q 1)

（要注意!） 前n项和：Sn a11 qn

(q 1)

1 q

性质： an 是等比数列

（1）若m n p q，则am·an ap·aq （2）Sn，S2n Sn，S3n S2n……仍为等比数列

三、你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

1、公式法 2、由Sn求an

（n 1时，a1 S1，n 2时，an Sn Sn 1） 3、求差（商）法

111

a1 2a2 …… nan 2n 52221

解：n 1时，a1 2 1 5，∴a1 14

2111

n 2时，a1 2a2 …… n 1an 1 2n 1 5

222

1

1 2 得：nan 2

2

如： an 满足 ∴an 2 ∴an

n 1

1

2

14(n 1) 2

n 1

(n 2)

［练习］

数列 an 满足Sn Sn 1

5

an 1，a1 4，求an 3

（注意到an 1 Sn 1 Sn代入得：

Sn 1

4 Sn

又S1 4，∴ Sn 是等比数列，Sn 4n n 2时，an Sn Sn 1 …… 3·4n 1 4、叠乘法

例如：数列 an 中，a1 3，

an 1n

，求an ann 1

解：

a2aaa12n 11

·3……n ·……，∴n a1a2an 123na1n

3

n

又a1 3，∴an 5、等差型递推公式

由an an 1 f(n)，a1 a0，求an，用迭加法

n 2时，a2 a1 f(2)

a3 a2 f(3)

两边相加，得：

………… an an 1 f(n)

an a1 f(2) f(3) …… f(n) ∴an a0 f(2) f(3) …… f(n) ［练习］

数列 an ，a1 1，an 3n 1 an 1 n 2 ，求an （an

1n

3 1） 2

6、等比型递推公式

an can 1 dc、d为常数，c 0，c 1，d 0 可转化为等比数列，设an x c an 1 x an can 1 c 1 x

令(c 1)x d，∴x ∴ an

d c 1

d d

是首项为a ，c为公比的等比数列 1

c 1 c 1

∴an

dd n 1

a1 ·c c 1 c 1

d n 1d

c

c 1c 1

∴an a1 ［练习］

数列 an 满足a1 9，3an 1 an 4，求an

4

（an 8

3

7、倒数法

n 1

1）

例如：a1 1，an 1

2an

，求an

an 2

由已知得：

1an 1

an 211

2an2an

∴

1an 1

11

an2

1 11

为等差数列， 1，公差为

a12 an

111

1 n 1 · n 1 an22

2

n 1

∴an

三、 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

1、公式法：等差、等比前n项和公式

2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如： an 是公差为d的等差数列，求

a

k 1

n

1

kak 1

解：由

111 11

d 0

ak·ak 1akak dd akak 1

n

11 11

∴

ak 1 k 1akak 1k 1d ak

n

11 11 11 1

…… d a1a2 a2a3 anan 1

1 11

d a1an 1

［练习］ 求和：1

111 …… 1 21 2 31 2 3 …… n

1

） n 1

（an …… ……，Sn 2 3、错位相减法：

若 an 为等差数列， bn 为等比数列，求数列 anbn （差比数列）前n项

和，可由Sn qSn求Sn，其中q为 bn 的公比。

如：Sn 1 2x 3x2 4x3 …… nxn 1

1

2

x·Sn x 2x2 3x3 4x4 …… n 1 xn 1 nxn 1 2 ： 1 x Sn 1 x x2 …… xn 1 nxn x 1时，Sn

1 x nx

n

n

1 x

2

1 x

x 1时，Sn 1 2 3 …… n

n n 1 2

4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sn a1 a2 …… an 1 an

相加

Sn an an 1 …… a2 a1

2Sn a1 an a2 an 1 …… a1 an …… ［练习］

x2 1 1 1

，则f(1) f(2) f f(3) f f(4) f 已知f(x)

2 3 4 1 x2

1 x

2

x 1

（由f(x) f

x 1 x2

2

x21 1 2221 x1 x 1

1 x

1 3

1 4

∴原式 f(1) f(2) f f(3) f f(4) f

1 2

12 1 1 1 312

）