考研高数知识点题目

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第一章 函数与极限

一、知识点 1、函数的概念 1.1 函数的定义

y=f(x)，x∈I

x 为自变量，y 为因变量或称为函数值 f:x→y 为对应关系

自变量在定义域里面取值的时候，所有的函数值的全体就称为值域。 1.2 分段函数（考研中用得很多）

例1：x=

x,x≥0

，问：函数x是否为初等函数？

x,x<0

1,x>0

例2：f(x)=sgnx= 0,x=0

1,x<0

x2,x≤0

例3：max(x,x2,x3)= x,0<x≤1

3,x>1 x

对于分段函数需要注意：(1)分段点不一定为间断点、不可导点。(2)分段点两侧的函数 表达式不同，因此讨论函数在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数(定义求左右导数)。

注意：分段函数的分段点，左右运算要分开。 1.3 反函数

例：y=x 的反函数 x=±y 由于不单值，所以要看作 x=

2

y 和x= y，它们的图像与y=x2一致。

2

y=x y=x、y= x

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如果改变符号，写成y= 1.4 隐函数

x和，那么它们的图像要变。

F(x,y)=0 确定y与x的函数关系

有些隐函数能化为显函数，例：x+y=1，y= x和y= x。 另外有些隐函数则不能化为显函数。例：e1.5 基本初等函数的概念、性质和图像

(1)．常值函数y=c（常数） (2)．幂函数y=x（α常数）

(3)．指数函数y=a (a>0,a≠1常数) y=e（e=2.7182K，无理数） (4)．对数函数y=logax（a>0,a≠1常数）

常用对数y=log10x=lgx 自然对数y=logex=lnx

x

x

x+y

2

2

2

2

+sin(3x 2y)+5=0

α

(5)．三角函数y=sinx；y=cosx；y=tanx；y=cotx；y=secx；y=cscx。

(6)．反三角函数y=arcsinx；y=arccosx；y=arctanx；y=arccotx。

y=arctanx

例1：limarctanx

x→+∞

(x→ ∞)(x→∞)

例2： lime

x→0

1x

2

1xx

图像知lim( 2)= ∞，因此limex=0。讨论lime、lime。

x→0x→0x→0+x→0 x

111

例3：limlnx +

x→0

总结：y=arctanx，y=e，y=lnx等基本初等函数的图象要熟悉。

x

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1.6 复合函数

设y=f(u) 定义域U

u=g(x) 定义域X，值域U*

如果U* U，则y=f[g(x)]是定义在X上的一个复合函数。其中u称为中间变量。 典型题型：（i）已知f(x)，g(x)，求f[g(x)] （ii）已知f[g(x)]，g(x)，求f(x) 1.7 初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。

例:x∈I，f(x)、g(x)是初等函数，问h(x)=max{f(x),g(x)}是否为初等函数？ *考研数学中常出现的非初等函数 1．用极限表示的函数

（1）y=limfn(x) （2）y=limf(t,x)

n→∞

t→x

方法：首先求极限。

2．用变上、下限积分表示的函数 （1）y=F(x)= （2）y=G(x)= 则

∫

x

a

f(t)dt 其中f(t)连续，则

x

dy

=f(x) dx

∫ ()f(t)dt 其中 (x)， (x)可导，f(t)连续，

1

2(x)

12

dy

′(x) f[ 1(x)] 1′(x) =f[ 2(x)] 2

dx

方法：变限积分是积分上限的函数；出现之后先求导。

1.8 函数的几种性质

(1)．有界性：

（i）定义：设函数y=f(x)在X内有定义，若存在正数M，使x∈X都有f(x)≤M，则称f(x)在X上是有界的。 （ii）例：f(x)= (2)．奇偶性：

（i）定义：设区间X关于原点对称，若对x∈X，都有f( x)= f(x)，则称f(x)在

1

在（0，1）内无界，在（1/2，1）内有界 x

X上是奇函数。若对x∈X，都有f( x)=f(x)，则称f(x)在X上是偶函数。

（ii）图像对称性：奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称。

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常用公式：

∫

a

a

0 当f为奇函数

f(x)dx= a

2f(x)dx当f为偶函数 ∫0

注意：上述公式仅对有限区间上的奇偶函数适用，对于无穷限上广义积分的奇偶函数

不再具有此性质。 (3)．单调性：

（i）定义：设f(x)在X上有定义，若对任意x1∈X，x2∈X，x1<x2都有

f(x1)<f(x2)[f(x1)>f(x2)]则称f(x)在X上是单调增加的[单调减少的]；若对任意x1∈X，x2∈X，x1<x2都有f(x1)≤f(x2)[f(x1)≥f(x2)]，则称f(x)在X上是单

调不减[单调不增]

（有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。） （ii）单调判别方法：在（a，b）内，若f′(x)>0，则f(x)单调增加；若f′(x)<0， 则单调减少。

(4)．周期性：

如果存在常数T≠0，使得任意x∈X，x+T∈X， （i）定义：设f(x)在X上有定义，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数，称T为f(x)的周期。

由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。 （ii）例：f(x)=sinλx(λ>0)周期为T=

2π

λ

；f(x)=sin

xx

+cos周期为12π是 23

4π和6π的最小公倍数；f(x)=sinπx+sin2x不是周期函数，因为2和π没有最小公倍 数。不是所有的周期函数都有最小正周期。如

1L当x为有理数

D(x)= ，易知所有的有理数均为函数的周期，无最小正周期。

0L当x为无理数

1.9 极限的概念与基本性质 （1） 极限的定义

（1.1）limxn=A （称数列{xn}收敛于A）

n→∞

任给ε>0，存在正整数N，当n>N时，就有xn A<ε。

（1.2）limf(x)=A:任给ε>0，存在正整X，当x>X时，就有f(x) A<ε。

x→+∞

（1.3）limf(x)=A:任给ε>0，存在正数X，当x< X时，就有f(x) A<ε

x→ ∞

（1.4）limf(x)=A:任给ε>0，存在正数X，当x>X时，就有f(x) A<ε

x→∞

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（1.5）limf(x)=A:任给

x→x0

ε>0，存在正数δ，当0<x x0<δ时，就有

f(x) A<ε

（1.6）limf(x)=A（用f(x0+0)表示f(x)在x0的右极限值） +

x→x0

任给ε>0，存在正数δ，当0<x x0<δ时，就有f(x) A<ε （1.7）limf(x)=A（用f(x0 0)表示f(x)在x0的左极限值）

x→x0

任给ε>0，存在正数δ，当 δ<x x0<0时，就有f(x) A<ε

其中f(x0+0)称为f(x)在x0处右极限值，f(x0 0)称为f(x)在x0处左极限值。 有时我们用limf(x)=A表示上述六类函数的极限，它具有的性质，上述六类函数极限皆具有这种性质，有时我们把xn=f(n)，把数列极限也看作这种抽象的变量的极限的特例，以便于讨论。

(2)．极限的基本性质

定理1 （极限的唯一性）设limf(x)=A，limf(x)=B，则A=B 定理2 （极限的不等式性质）设limf(x)=A，limg(x)=B 若x变化一定以后，总有f(x)≥g(x)，则A≥B

反之，A>B，则x变化一定以后，有f(x)>g(x)（注：当g(x)≡0，B=0情形也 称为极限的保号性）

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