02第二部分 信号分析基础4

传感器技术与测试系统

Sensor Technology & Measurement Systems

§2.7 离散Fourier变换

Laplace变换

L[ x(t )] X ( s) x(t )e st dt

0

s j , 0

z变换

1 j st L [ X ( s)] x(t ) X ( s )e dt -j 2 j

1

Z [ x(n)] X ( z ) x(k ) z k

k 0

1 Z [ X ( z )] x(n) 2 j

1

X ( z ) z n 1dz

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§2.7 离散Fourier变换

– z变换的性质

卷积

Z [ x(n)] X ( z ) Z [h(n)] H ( z ) Z [ x(n) h(n)] X ( z ) H ( z )

x(n) h(n)

m

x(m)h(n m)

Z [ x(n) h(n)]

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k m

x(m)h(k m) z k

k

k

h( k ) z

x(m) z m X ( z ) H ( z )

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m

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§2.7 离散Fourier变换

非周期离散序列的Fourier变换

– 正变换

F [ x(n)] X ( )

n =-

x(n)e

jn

– 逆变换

1 F [ X ( )] x(n) 2

1

X ( )e jn d

试证明

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§2.7 离散Fourier变换

– 与连续信号Fourier变换的对应关系

正变换

F [ x(n)] X ( )

n =-

x(n)e jn

离散序列信号

F[ x(t )] X ( )

逆变换

1

x(t )e-j t dt

连续时间信号

1 F [ X ( )] x(n) 2 1 F [ X ( )] x(t ) 2

1

X ( )e jn d 离散序列信号 X ( )e j t d 连续时间信号

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§2.7 离散Fourier变换

Fourier变换与Laplace变换、z变换之间的关系

– Laplace变换与Fourier变换

L[ x(t )] X (s) x(t )e st dt

s j

- -

– Fourier变换与z变换

F[ x(t )] X ( ) x(t )e j t dt

F [ x(n)] X ( )

Z [ x(n)] X ( z )

n =-

x(n)e jn

k

z e j

k

x( k ) z

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§2.7 离散Fourier变换

离散Fourier变换（Discrete Fourier Transform， DFT） X x (t )

o

T (t )

t

o

1/T oT

x (t )

t

s

o

X

s

x t T (t )

X ( )

oT

t

s

o

s

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w(t)

§2.7 离

散Fourier变换

W

-T0/2 o T0/2

x t T (t )w(t ) x1 t

t

X ( ) W ( )

2 T0

o

X 1

2 T0

o

1 (t )

t

o

1

-T1

x1 t 1 (t )

o

x2 (t )

T1

t

X1 1 ( )

1 o 1

X 1

o N

t

o N

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§2.7 离散Fourier变换

– 离散周期性信号的Fourier级数（Discrete Fourier x(t ) T Series，DFS）

s

x( r )

T

x(t )

1 cn x(t )e jn 0t dt T

采样

T Ts , t rTs N

n T 2 T 2

cn e jn 0t

o

r N

1 X s ( n) NTs 1 N

t

x(rT )e

r 0 s jn s

N 1

jn

2 rTs NTs

Ts

x (r )e

r 0

N 1

2 r N

xs (r ) X s (n)e

n 0

N 1

jn

2 r N

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§2.7 离散Fourier变换

N 1 k 0 jn 2 k N

jn 2 k N

DFS[ xs (n)] X s (n) xs (k )e

1 IDFS[ X s (k )] xs (n) N

X

k 0

N 1

s

(k )e

WN e

-j

2 N

kn DFS[ xs (n)] X s (n) xs (k )WN

N 1 k 0

1 IDFS[ X s (k )] xs (n) N

kn X ( k ) W s N k 0

N 1

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§2.7 离散Fourier变换

– 离散Fourier变换（Discrete Fourier Transform，DFT）

kn DFT[ x(k )] X (n) x(k )WN

N 1 k 0

0 n N 1 0 k N 1

1 IDFT[ X (n)] x(k ) N

kn X ( n ) W N n 0

N 1

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§2.7 离散Fourier变换

x(0) W 1 ( N 1) x(1) ( N 1) ( N 1) x ( N 1) W X (0) W0 W 1 ( N 1) X (1) W ( N 1) ( N 1) X ( N 1) W0

DFT和IDFT的矩阵表现形式

W0 X (0) W 0 X (1) 0 1 1 W W 0 ( N 1) 1 X ( N 1) W W W 0 W0 x(0) 0 x(1) 1 1 W W 1 N 0 ( N 1) 1 x ( N 1) W W

X(n) W nk x(k ) 1 x(k ) W nk X(n) N

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§2.7 离散Fourier变换

例11 用矩阵形式求矩形序列 x(n) R4 (n)的DFT，再由所得 X ( k ) 经IDFT求 x(n) ，验证结果的正确性。

N 4

W e

j

2 N

e

j

2 4

j

W0 W 0 x(0) 1 1 1 1 1 4 X (0) W 0 W

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