2012东北三省三校联考理科数学答案

2012三校联考二模理科数学参考答案：

一．选择题

（1）Ｃ （2）Ａ （3）C （4）Ｄ （5）Ｃ （6）B （7）Ｄ （8）Ｃ （9）C （10）Ｂ （11）D （12）B 二．填空题

(x,y,z) (a,2 a, 2) ax y(2 a) 2z 0,

n PC (x,y,z) (0,2, 2) 2y 2z 0,

令z 1,得n (1,1,1)． ……7分

而 ( 1,0,1)，所以 0，即 ，又AM 平面PBC 故AM//平面PBC．……9分

(Ⅱ) (1,0, 2)，设PA与平面PBC所成角为 ， 由直线与平面所成角的向量公式有

2

（13）y x （14） （15）40 （16） 3,6

3

三．解答题 （17）解:

(Ⅰ) an 3n 2． ……6分

3n2 7n 6

(Ⅱ)bn ． ……12分

2

（18）解：

(Ⅰ) 记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、

丙至少有一名考核为优秀”为事件E．

则事件A、B、C是相互独立事件，事件ABC与事件E是对立事件，于是

sin

（20）解：

13

． ……12分 15

11117

P(E) 1 P(ABC) 1 ． ……4分

33218

(Ⅱ) 的所有可能取值为30,40,50,60．

1

P 30 P(ABC) ，

18

5

P 40 P(ABC) P(ABC) P(ABC) ， ……6分

188

P 50 P(ABC) P(ABC) P(ABC) ，

18

4

P 60 P(ABC) ． ……8分

18

所以 的分布列为

c 2

a 2x2y2 b

1． ……4分 (Ⅰ)由题意 1，解得 ，所求椭圆方程为42 b 2 a

a2 b2 c2

x2 2y2 4

(Ⅱ)联立方程组

y kx m

消去y得（1 2k)x 4kmx 2m 4 0， ……5分

2

2

2

16k2m2 4 2(m2 2)(1 2k2) 8(6 m2) 0， 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)，由韦达定理得

x x2m 2km

y kx m x0 1 ，． 00

21 2k21 2k2

由点P在直线x 2y 0上，得k 1． ……7分 226 m246 m2

所以AB 2．

33

E 30 40 50 60 ．

181818183

……12分

（19）解：

如图建立空间直角坐标系.

(Ⅰ)设PD CD 2AD 2，BC 2a， 则A(1,0,0),B(a,2 a,0)，C(0,2,0),P(0,0,2)，

点F(2,0)到直线AB的距离d 三角形 FAB的面积

2 m2

．

SFAB

1ABd m m 0)．……10分 2设u(m) (6 m2)(m2(m m 0)，

M(0,0,1)． ……3分

设平面PBC的一个法向量为 (x,y,z)，则

由u'(m) 2(2m mm＝0得：

m

2

或m

或m

当

m 时，u'(m)

0；当 2

m 时，u'(m) 0；

当 m u'(m)

0 m u'(m) 0

又u( 3

4

,u 32 所以当m 时， FAB的面积取最大值8

3

. ……12分

21）解：

(Ⅰ) f (x) 1

1 x，g (x) b x x2，

由题意 f(0) 0,

f (0) g (0),解得a 0，b 1． ……4分

（Ⅱ）令h(x) f(x) g(x) ln(x 1) 1312

3x 2

x x　 (x 1)

h (x) 12

x31 x x x 1　 x 1

． ……5分

h(x)在( 1,0)为增函数，在(0，

)为减函数． ……6分 h(x)max h(0) 0，h(x) h(0) 0，即f(x）

g(x)． ……8分 （Ⅲ）

设u(x) (1 x)[f(x) f(x1)] (x x1)，则u (x) ln(1 x) ln(1 x1)． 当x (x1,x2)时，u (x) 0，u(x)单调递增，又u(x1) 0，

故u(x) 0，即

f(x) f(x1)1

x x

1 x

． ……10分 1设v(x) (1 x)[f(x2) f(x)] (x2 x)，则v (x) ln(1 x2) ln(1 x)． 当x (x1,x2)时，v (x) 0，v(x)单调递增，又v(x2) 0，

故v(x) 0，即f(x) f(x2)1

x x

． 21 x

综上，x (xf(x) f(x1)f(x) f(x2)

1,x2)时，x x

x x． ……12分 12

22）解：

(Ⅰ) 连结ON，则ON PN，且 OBN为等腰三角形，则

OBN ONB， PMN OMB 90 OBN， PNM 90 ONB

PMN

PNM， PM PN． ……3分 PN2

PA PC，所以PM2

PA PC．……5分

(Ⅱ)OM 2，在Rt BOM中，BM OB2 OM2 4． 延长BO交⊙O于点D，连结DN．由条件易知

BOM∽ BND，于是

BOBN BM

BD

， 即234

，得 BN 6． ……8分

BN 43

所以MN BN BM 6 4 2. ……10分

（23）解：

(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

7t2 12t 5 0

设A，B对应的参数分别为t121,t2，则 t1 t2 7,t 5

1t2 7

． ……3分 所以AB ( 3)2 ( 4)2t2

t1 t2 5(t1 t2) 41t2 7

． ……5分

(Ⅱ)易得点P在平面直角坐标系下的坐标为( 2,2)，根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为t1 t26

2 7

． ……8分

所以由t的几何意义可得点P到M的距离为

PM ( 3)2 ( 4)2 67 30

7

． ……10分

（24）解:：

(Ⅰ)x x 4 5等价于

x 1 1 x 2x 5 5 或

4 3 5 或 x 4

， 2x 5 5解得：x 0或x 5．

故不等式f(x) 5的解集为{xx 0或x 5}． ……5分

(Ⅱ)因为: f(x) x 1 x a (x 1) (x a) a （当x 1时等号成立） 所以：f(x)min a 1 ……8分

由题意得：a 1 4， 解得a

3或a 5． ……10分

- 2 -

（（ 由条件，根据切割线定理，有