东北三省三校(哈尔滨师大东北师大附中、辽宁省实验中学)2014年高

二模理科数学参考答案

n2(n 1)22

13．1 2 n 14． 15． 16．①②④

343

3

3

3

17．（Ⅰ）解：当n 1时，a1 5S1 1, a1

1

………2分 4

又 an 5Sn 1,an 1 5Sn 1 1 an 1 an 5an 1, ………4分

即

an 1111

∴数列 an 是首项为a1 ，公比为q 的等比数列，∴an444

1

an ( )n ………6分

4

（Ⅱ）bn log4( )

14

n

n， ………8分

所以

111 11

………10分 bnbn 2n(n 2)2 nn 2

Tn

1 11111 1 111

………12分 (1 ) ( ) ( ) 1 2 324nn 222n 1n 2

18．（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3；第四组的频率是0.100×2=0.2；第五组的频率是

0.050×2=0.1 ………3分

（Ⅱ）①由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5=3个，而第三组共有100×0.3=30个，所以

1

C281

甲乙两产品同时被选中的概率为P 3 ………7分

C30145

②第四组共有X个产品被购买，所以X的取值为0,1,2

11112C3 C326C3C2 C2C281

P(X 0) P(X 1) P(X 2) ；；；

C6215C6215C6215

z

X

所以X的分布列为

012

P

281 ………10分

51515

EX

812

2 ………12分 x15153

19．（Ⅰ）证明:

连结MO

A1M MA AO OC MO//AC

1

MO 平面BMD

AC1//平面BMD AC1

平面BMD

（Ⅱ）BD AA1,BD AC得BD 面A1AC于是BD A1O

AC BD

O

ABCD

BAD 60 AO 1 AC AB 2

2 AA

O AC 1 A1

cos A A1O 平面ABCD

1AC 60

A BD

1O

y

………3分

………7分

(Ⅲ)

如图建立直角坐标系，A1(0,0,3)AC(B(0,1,0)D(0,

1,0)

3

3AC AC ( C( M)MB ( ) 111

22

DB (0,2,0)BC1 ( 1,3)

设平面BC1D的法向量为n (x,y,z)

n DB 0 2y 0 n DB

n ………9分

y 3z 0 n BC1 n BC1 0

………11分 cos BM,n

所以，直线BM与平面BC1D

………12分 20．

2

（Ⅰ）设P(x,y

) (y 1) 1 x 8y ………4分

（Ⅱ）设直线BC：y kx b，B(x1,y1),C(x2,y2)

2

将直线BC代入到x 8y中得x 8kx 8b 0，所以x1 x2 8k,x1x2 8b………5分

2

又因为AB (x1 4,y1 2),AC (x2 4,y2 2)

所以

AB AC (x1 4)(x2 4) (y1 2)(y2 2) (x1 4)(x2 4) (kx1 b 2)(kx2 b 2)

(k 1)x1x2 [k(b 2) 4](x1 x2) (b 2) 16 0

2

2

8b(k2 1) 8k[k(b 2) 4] (b 2)2 16 0 b2 12b 16k2 32k 20 0 (b 6)2 16(k 1)2 0

…

……8分

b 4k 10或 b 4k 2 ………10分

所以恒过定点( 4,10) ………12分

21．

（Ⅰ）f(x)

'

a x2 1 2x ax b

x

2

2

1

2

ax2 2bx a

x

2

2

1

2

令f(x) 0 ax 2bx a 0 4(b a) 0 ………2分

'2

f'(x) 0有两实根不妨记为 ,

所以，f(x)有两个极值点 ，一个极大值点一个极小值点 ………4分

（Ⅱ）ax 2bx a 0，由韦达定理得

2

2b a

2

f 1 a b 1 0

2 2 a 2b 0 0 2

f 1 a b 1 0

………6分

0 b 0, 1, 1，所以a 2 ………7分

(Ⅲ)

2ex

因为g(x) 2x 0，所以m 0 ………8分

e 1

又因为当x 0时，不等式恒成立

ex e x 2

所以，原问题 m 对一切x ,0 0, 恒成立

x2ex e x 2

法一、设u(x) （x ,0 0, ） 2

xe u(x)

'

x

e x x2 2x ex e x 2

x

x

x

4

e

x

e x x 2 ex e x 2

x

3

设h(x) e e

x 2 e

x

x

e x 2 ，h'(x) ex e x x ex e x ，h''(x) ex e x x

''

当x 0时，e e，所以h(x) 0，当x 0时，e e，所以h(x) 0，

xx x''

所以h(x)在R上单调递增，又因为h(0) 0

''

所以当x 0时， h(x) 0，当x 0时， h(x) 0

所以h(x)在 ,0 上递减， 0, 递增，所以h(x) h(0) 0 ………10分

''

所以当x 0时， u(x) 0，当x 0时， u(x) 0

所以u(x)在 ,0 上递减， 0, 递增，所以h(x) limh(x) 1

x 0

''

所以0 m 1 ………12分

法二不妨设x 0

h(x) ex e x mx2 2h'(x) ex e x 2mx，h''(x) ex e x 2m

当m 1时，e e

x x

2 2m，h(x) 0，所以h(x)在 0, 上单调递增，h(x) h(0) 0所以

''

'

'

'

h(x)在 0, 上单调递增， h(x) h(0) 0，所以当m 1时成立………10分

''

当m 1时h(x)

0得x ln(m令x0 ln(m

当x 0，x0 时h(x) 0所以h(x)在 0，x0 上单调递减，h(x) h(0) 0所以

''

'

'

'

h(x)在 0，x0 上单调递减，h(x) h(0) 0，与条件矛盾，同理x 0时亦如此

综上0 m 1 12

22．

（Ⅰ）

AB//CD PAB AQC

PA为 O切线 PAB ACB AQC ACB

ACB CQA

AQ为 O切线 QAC CBA

AC AB

AC2CQAC

AB CQ………5分

（Ⅱ）

AB//CD AP

BPAPAB1

AQ 1

2

PCPQQC3 QC PC 6 BP 2,AB

AP为

O切线 AP2 PB PC 12 QA 分

又因为AQ为

O切线 AQ2 QC QD QD

………10分 23．

（Ⅰ）C1:x 2y

2，l x 4 ………5分

（Ⅱ）设Q

22

,sin ，则点Q到直线l的距离

d

………8分

当且仅当

4

2k

2

，即 2k

4

2

（k Z）时取等 ………10分

24．解：（Ⅰ）由柯西不等式得，(a b c) (1 …… 此处隐藏：1054字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……