材料力学课程设计

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一、静定部分 梁的强度和刚度计算

（一）目的：对梁进行强度和刚度计算，并对梁截面

上各点进行应力状态分析。

（二）力学简图，如下图1.1

图1.1

（三）已知条件：[σ]=140Mpa，[w]=a/150，E=210GPa

矩图。

求A、B处的支座反力，其受力分析如下图

（四）1.1列出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯

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由静力平衡方程

ΣMA=0, Me+q 2a a-FRB 2a+F 3a=0 ΣMB=0, Me+FRA 2a - q 2a a +F a=0 解得FRA=141.375kN FRB=69.625kN 剪力和弯矩方程进行分段分析，选取坐标如上图 在CA(0m≤x<8m)段上： Fs（x）=0 M（x）=Me=14

在AB(16m≤x<24m)段上： Fs（x）=FRA-q(x-a)=157.625-11x M（x）=Me+FRA(x-a)-(x a)2

21

=-5.5x2+157.625x-895

在BD(24≤x<32)段上： Fs（x）=F=0 M（x）= 35x-1120 令Fs（x）=FRA-q(x-a)=157.625-11x=0，解出x=14.33(m) 则M（x）=Me+FRA(x-a)-(x a)2=-5.5x2+157.625x-895=243.68 ，

21

即为抛物线顶点，再带入x=24,可得MB=-280 kN m 绘制剪力图与弯矩图如下：

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1.2根据正应力强度条件选择工字钢型号。 抗弯截面系数W=[σ]=140×106cm3

查表可得 取50c型号工字钢，且50c型号钢的各尺寸及参数如下所示：

MB280×103

1.3 给出危险截面上正应力、切应力的分布规律图。

正应力分布规律：由公式

σ=I∴σ=533y

z

My

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上图为正应力分布规律，σ

max

=138.3MPa

切应力的分布规律：在翼缘上有平行于Fs的切应力，但情况部较复杂，且数量很小，并无实际意义，所以不进行计算，由于腹板宽度远小于翼板宽度， τ

max

与τ

min

相差不大，可以认为在腹板上切应力分布均

匀且通常只用计算腰板的切应力分布。

τ τ

maxmin

= =

bh2h2

b0)

Izb088

FS

]=-15.8MPa

bh2bh2

-8Izb08

FS

1.4画出危险截面上1、2、3、4、5点的应力状态，并求出主应力的大小和应力主平面（表示在单元体上），求出最大和最小切应力。

1、2、3、4、5点应力状态如下图所示：

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1点：τ

=τxy

=0, σx=yx

MBIZ

y1=138MPa,且σy=0

tan2α=0 ∴α=0°或α=90° 当α=0°时，σ

σx+σyσx σy

=+α22

cos0°-τ

xy

sin0°=138MPa,

当α=90°时，σα=0

∴σ

mxx

=138MPa 主平面位置如图

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2点：τ

y

=

MBIZ

yz=127.3MPa

2bh2h20bh02

=-+y)]=-10.2Mpa 2yxIzb08824

τxy= τ

FS

2τxy 20.4

且tan2α= ∴α=4.6°或

127.3σx σy

α=94.6°

当α=4.6°时，σα=128.3MPa 当α=94.6°时, σα=-1MPa

即σ

mxx

=128.3MPa，σ

min

=-1MPa

主平面位置如下图：

3点：σ τ

x

=σy=0,

yx

xy

= τ =

FSIzb0

[

bh28

-

h28

+

b02

×

h24

]=-15.8Mpa

tan2α→∞，∴α=45°或α=135°

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当当α=45°时，σ当α=135°时, σ

α

α

=15.8MPa

=-15.8MPa

min

即σ

mxx

=15.8MPa，σ=-15.8MPa

其主平面位置如图所示4点：σ

x

xy

= 127.3MPa , σy=0, τ

=τ

yx

=10.2MPa

2τxy又=tan2α=

σx σy

σ0= 4.6°或σ0=-94.6°

∴σ3=-128.3MPa σ1=1MPa

其平面位置如图所示

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5点：与1点分布情况类似 σ

x

= 138MPa , σy=0 τ

=0

xy

= τ

yx

=0

tan2αα=0°或α=90° 当

α

=

∴

0°时，

σ-τ

σx+σyσx σy

=+α22xy

cos0°

sin0°=-138MPa,

当α=90°时，σα=0

∴σ3=-138MPa σ1=0MPa

主平面位置如图所示

1.5用第三强度理论对工字梁的危险点进行强度校核。

1点：σ1-σ3=138MPa≤[σ] 2点；σ1-σ3=129.3MPa≤[σ] 3点：σ1-σ3=31.6MPa≤[σ] 4点：σ1-σ3=129.3MPa≤[σ] 5点：σ1-σ3=138MPa≤[σ]

由上综合可知：5点均满足第三强度理论的强度条件： σ1-σ

3

≤[σ]

1.6用能量法求C、D两点的挠度及截面A的转角。

C点的挠度：

根据图1.1以及莫尔图乘法的原理可得。去掉所有载荷，只加单位载荷其受力情况以及弯矩图如1.6 1和1.6 2

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图1.6 1

图1.6 2

又由叠加定理，做Me、q以及F的弯矩图，如图1.6 3

图1.6 3

又由莫尔积分：

-Wc=[-Me×a×2 2Me×2a×

EI

1

a12a3

+Fa×2a×a

2

12a3

×qa2×2

2

1a

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∴ Wc=

2581.3EI

×103m=-2.43cm

负号表示与单位方向相反。

D点的挠度：

根据图1.1以及莫尔定理、去掉所有载荷后，其受力分析以及弯矩图如图1.6 4和1.6 5所示

图1.6 4

图1.6 5

又由叠加定理，做Me、q以及F的弯矩图，如图1.6 6

图1.6 6

a

12

2a132

WD=[ Me×2a×

EI

2

112a3

2a3

×qa2× +Fa×2a×

2

2

1

+Fa×a×

2a3

则WD

=

10112.0×103

EI

9.5cm

1.7对梁进行刚度校核。

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由1.6中相关计算可知： Wc=2.4cm WD=9.5cm

而许用[w]=a/150=5.3cm 即 WD>[w] ∴不符合刚度条件

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