高中数学必修五2.1《数列的概念与简单表示法》

第二章2.1

数列

数列的概念与简单表示法

8

7

6

5

4

陛下，赏小 人一些麦粒 请在第一个格 请在第三个格 请在第四个格 子放1颗麦粒 子放4颗麦粒 就可以。 请在第二个格 子放8颗麦粒 依次类推……子放2颗麦粒

8 7 6 5 4 64个格子 你想得到 3 什么样的 2 赏赐？ 1 3 2 1

OK

?64个格子

8

7

6

5

4

3

2

1

8 7 6 5 4 3 2 1

你认为国王 有能力满足 上述要求吗

每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子

2 1

0

2 2 184467440737095516153

2

1

2

3

?63 2

传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：

三角形数 1, 3, 6, 10, .…..

正方形数 1, 4, 9, 16, …… 提问：这些数有什么规律吗？

上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：

1 2, , , 2 ,2 2 2 3

63

三角形数：1,3,6,10,· · · 正方形数：1,4,9,16,· · · 1,2,3,4……的倒数排列成的一列数：

高一(4)班每次考试的名次由小到大排成的一列数：

1 1 1 1, , , , 2 3 4

1 2,4, 35 , 3,

-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：

1 1 1 1 , , ,

无穷多个1排列成的一列数：

1 1 1 1 , , , ,

1,3,6,10,· · ·2 3

1,4,9,16,· · ·63

1 2, , , 2 ,2 2 1 1 1 1, , , , 2 3 4

1

2 3 4 5

1 2,4, 35 , 3,

1 1 1 1 , , ,

1 1 1 1 ,, ,,

共同特点：1. 都是一列数； 2. 都有一定的顺序6

定义：按一定顺序排列着的一列数称为问1: 数列3

(数列具有有序性) 1,2 , 3 ,… ,35 改为请问：是不是同一数列？

3 , 2 ,1 ,… ,35

问2: 数列

4

-1,1,-1,1…… 改为：

1,-1,1,-1……,请问：是不是同一数列？7

数列中的每一个数叫 做这个数列的项。 各项依次叫做这个数列 的第1项，第2项，···, ··· 第n项， ··· ··· 数列的分类(1)按项数分： 项数有限的数列叫有穷数列 项数无限的数列叫无穷数列(2)按项之间的大小关系：

1 2 22,3, 263 , , 2 有穷数列 无穷数列

1

递增数列2

1 1 1 1 , ,, , 2 3 4

递减数列3

1 2,4, 35 , 3,

有穷数列 递增数列 1 1 1 1 ,, ,, 无穷数列 常数列

4

1 1 1 1 , , ,无穷数列 摆动数列8

5

递增数列， 递减数列，

摆动数列， 常数列。

如果数列 an 的第n项 与项数之间的关系可以用一 个公式来表示， 那么这个 公式就叫做这个数列的 通项公式。

第n项 数列的一般形式可以 a1 a2 a3 an 写成： a1,a2,a3, ,an , 1 0 , 21 , 22 , , 2 n , , 63 1 2 2 简记为 an ,其中 an是数 2n 1

(n N * , n 64) an 2n 1 1 1 1 , 1 , , , 列的第n项。 1 2 1 3 ,第1项 第2项 第3项

1

2

1, 2

{

1 } (n N * ) n,

n

3 ,*

{ n } (n N , n 35) an n , (-1)n , -1 , 1 , -1 ,

,

n,

an

, 35

1 n

3

a n (-1)n (n N * ) 1 , 1 , 1 , , 1 , 9 a n =1 (n N * )

4

5

三.数列 的表示方 法或简记为 an .

1.列举法序号

数列的一般形式： a1 , a2 , a3 , , an ,

第1项(或首项)

第n项

an 与 ann

的

而 an 只表示这个数列的第n项.

an 表示数列 a , a , a , , a , ,1 2 3

区别是什么？

2.通项公式法序号n 项 1 2 3 4 … … 20

an

2

a1

a2

22

a3

23

24

2 20

an 2

n

数列 an 的第n项 an 与 n 之间的关系

(公式)

数列的通项公式.

数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限 子集{1,2,…,n})的函数，那么数列的通项公式也就是相 应函数的解析式.11

3.图象法y10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7

an

2

n

n N * , n 20

y10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

an n 3 n N , 且n 7*

x

1

2

3 4 5

6 7

x

特点：它们都是一群孤立的点.12

例1 根据下面数列 an 的通项公式，写出它的前5项：n (1) an n 1

(2) an 1 nn

解：(1)在通项公式中依次取 n =1,2, 3,4,5,得到数列 an 的前5项为 1 2 3 4 5 , , , , . 2 3 4 5 6 (2)在通项公式中依次取n=1,2, 3,4,5,那么数列 an 的前5项为

-1,2, - 3,4, - 5.13

例2 写出数列的一个通项公式， 使它的前4项分别是下列各数： (1)1,3,5,7; 解：此数列的前四项1,3,5,7都 是序号的2倍减去1,所以通项公式 是：

an 2n 114

(2)

2 1 3 1 4 1 5 1 , , , ; 2 3 4 52 2 2 2

解：此数列的前四项的分母都是序号加1,分子都是分母的平方减 去1,所以通项公式是：

an

n 1

1 n n 2 n 1 n 1215

1 1 1 1 , , , . (3) 1 2 2 3 3 4 4 5解：此数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数 项为负，偶数项为正，所以通项公式是：

1 an n n 1 n16