线性代数人大版课件4-2

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2012-12-4

§ 4.2

二次型的标准形和规范形

§ 4.21.二次型的标准型

二次型的标准形和规范形

1.二次型的标准型

只含有平方项的二次型2 f y1, y 2, , yn d 1 y12 d 2 y 2 d n yn 2

称为二次型的标准形.对应的矩阵为

2.二次型化标准型的方法

3.惯性定理和规范型1

0 0 0 dn 标准形的秩等于 d 1, d 2, , d n中非零元素的个数.2 0 d2

d1 0 0

§ 4.2

二次型的标准形和规范形

§ 4.2

二次型的标准形和规范形

2.化实二次型为标准形 (1)正交线性替换法:由于二次型的矩阵A都是实对称矩阵，根据上一节的结果知,存在正交矩阵Q,使 Q–1AQ= QT AQ=Λ为对角阵.将此结论应用于二次型，有如下结论定理任意n元实二次型 f=xTAx,都可经正交变换 x=Qy化为标准形 1 2 2 f 1 y12 2 y 2 n y n yT y n

用正交变换化二次型为标准形的步骤：①写出二次型 f的矩阵A; 1 2 T ②求正交矩阵Q,使得使得 Q AQ n

为对角阵；③正交变换x=Qy化二次型为标准形 f=yTΛy .

这里 1, 1, n为 A的全部特征值 .

§ 4.2

二次型的标准形和规范形

§ 4.2

二次型的标准形和规范形0 2 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0

例1求一个正交变换x=Qy把二次型化为标准形. 2 2 2 f ( x1, x 2, x 3 ) x 1 2 x2 x3 2 x1 x 3解 (i)二次型 f的矩阵为 1 0 1 A 0 2 0 1 0 1 1

当λ1=0,时解方程组 (0E-A)x=0. 1 由0E A 0 1

得对应的个线性无关的特征向量得对应的一个线性无关的特征向量

1 0

1

(ii)求出A的全部特征值及线性无关特征向量 1 0 E A 0 21 0 0 ( 2)

11

1

1

1

( 2)2

当λ2=λ3=2,时解方程组 (2E-A)x=0. 1 1 1 得对应的线性无关的特征向量为 2 0 , 3 1 1 1 (iii)将所求特征向量正交化、单位化因 1分别与 2, 3正交,故只需将 2, 3正交化.

得A的特征值 1 0, 2 3 2;

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§ 4.2

二次型的标准形和规范形

§ 4.2(iv)写出正交变换令

二次型的标准形和规范形1 2 0 1 2 0 1 0

正交化取 1 1, 2 2

1 1 0 2 3 3 3 2 2 1 0 1 , 1 2

1 0 2 2

,

单位化

1 2 Q ( q1, q 2, q 3 ) 0 1 2

q1 1 1

1 1 0 2 2 2 0 , q2 0 , q3 3 1 2 3 1 0 1 2 2

则正交变换x=Qy将二次型化为标准形2 2 2 f 0 y1 2 y2 2 y3 .

§ 4.2

二次型的标准形和规范形

§ 4.2

二次型的标准形和规范形2 2 2

正交变换是线性变换中的特殊一类，它具有保持向量的内积、长度不变等优点，即若x=Qy为正交变换，则T T T (Qx1, Qx2 ) (Qx1 )T Qx2 x1 Q Qx2 x1 x2 ( x1, x2 )

2 2 3 x3 2ax2 x3 ( a 0)例2已知 f ( x1, x2, x3 ) 2 x12 3 x2

通过正交变换化为标准形 f y1 2 y2 5 y3 . (1)求参数a,并指出二次曲面f ( x1, x2, x3 ) 10所属的曲面类型; (2)当 x T x 1时，求 f的最大值,其中中 x ( x1, x2, x3 )T . 解 (1)二次型 f的矩阵为 A 0 3 a . 0 a 3 2 0 0

y yT y (Qx)T (Qx) xT QT Qx xT x x

所以正交变换能保持几何图形的大小和形状不变.

经正交变换标准化后，二次型标准形的平方项系数是矩阵A的全部特征值,根据特征值的性质，有

| A| 2(9 a 2 ) 1 2 5 10

§ 4.2

二次型的标准形和规范形2.配方法

§ 4.2

二次型的标准形和规范形

解得 a 2.又a 0,得a 2.通过正交变二次曲面方程2 2 f ( x1, x2, x3 ) 2 x12 3 x2 3 x3 4 x2 x3 10 2 2 2化简为 y1 2 y2 5 y3 10,这是一个椭球面，所以曲面

例3用配方化二次型为标准形,并求所用的可逆线性变换. 2 2(1) f ( x1, x 2, x 3 ) x1 3 x 3 2 x1 x 2 4 x1 x 3 2 x 2 x 3 ( 2 ) f ( x1, x 2, x 3 ) x1 x 2 x1 x 3 x 2 x 3解 (1)由于f中含有x1的平方项,首先把含x1的项归并起来进行配方，得 2 f x 12 3 x 3 2 x1 x 2 4 x1 x 3 2 x 2 x 32 ( x 12 2 x 1 x 2 4 x 1 x 3 ) 3 x 3 2 x2 x3 2 2 ( x1 x 2 2 x 3 ) 2 x 2 2 x2 x3 7 x3

f ( x1, x2, x3 ) 10也是一个椭球面.

设二次型经正交变换x=Qy化为标准形，则xT x yT QT Qy= yT y从而当 x T x 1时

1

y1 2 2 2 2 f y12 2 y 2 5 y3 5 y12 5 y 2 5 y3 5( y1, y 2, y 3 ) y 2 5 y T y 5. y 3

2 ( x1 x 2 2 x 3 ) 2 ( x 2 x 3 ) 2 6 x 3

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§ 4.2

二次型的标准形和规范形 x 1 y1 y 2 y 3 即 x2 y2 y3 x y3 3

§ 4.2 x1 y1 y2 x2 y1 y2 x y3 32

二次型的标准形和

规范形 1 1 0 即x C1 y,其中C1 1 1 0 0 0 1

y1 x 1 x 2 2 x 3 令 y2 x2 x3 y x3 3

解 (2)由于f中不含有平方项,首先令

则可逆线性变换x=Cy化次型为标准形：化二次型为标准形：2 2 2 f y1 y2 6 y3 .

有

f y1 y2 ( y1 y2 ) y3 ( y1 y2 ) y3 2 2 2 2 y1 2 y1 y3 y2 ( y1 y3 )2 y2 y3也即 y C 2 z,

2

1 1 1 这里C 0 1 1 0 0 1

z1 y1 y 3 y1 z 1 z 3 再令 z 2 y 2即 y2 z2 z y z3 3 3 y3 1 0 1 其中C 2 0 1 0 . 0 0 1

§ 4.2

二次型的标准形和规范形2 1 2 2 2 3

§ 4.2

二次型的标准形和规范形

则二次型化为标准型 f z z z .所求可逆线性变换为x=Cz,这里 1 1 0 1 0 1 1 1 1 C C1C 2 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

可以证明定理任何实二次型，都可经过可逆线性变换化为标准形.用矩阵语言表述，即是

配方法化二次型为标准形(小结)利用和的平方公式逐步消非平方项(交叉项). (1)若二次型含有xi的平方项，则把含有xi的项集中,再按xi配成平方项，其余类推，直至都配成平方项； (2)若在二次型中没有平方项,但aij≠0(i≠ j),则首先作可逆线性变换： x i yi y j x j yi y j xk zk, (k i, j )

定理对于任何实对称矩阵A,总存在可逆矩阵C,使得CTAC= 为对角矩阵，即实对称矩阵一定合同于一个对角矩阵.

化二次型为(1)的情形，再配方.

§ 4.2

二次型的标准形和规范形

§ 4.2

二次型的标准形和规范形

3.初等变换法 定理对任何实对称矩阵A,一定存在初等矩阵 P1,P2…Ps,使 PsT···P2TP1T AP1,P2··· Ps= 为对角矩阵. y使证 A为实对称矩阵,故存在可逆线性变换x=Cy f(x1,···,xn)=xTAx=(Cy)TA(Cy)= yTCTAC y= yT y为标准形.由于C为可逆矩阵，因此可以写成一系列初等矩阵的乘积,即 C=P1P2&# …… 此处隐藏：4163字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……