2019年高中数学 2.1.2椭圆的简单几何性质学案 新人教A版选修1-1

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高中数学2.1.2椭圆的简单几何性质学案新人

教A版选修1-1

?基础梳理

1．椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较.

2.椭圆的离心率e.

(1)因为a>c>0,所以0<e<1．

(2)e 越小,椭圆越圆；e 越大,椭圆越扁．

(3)当e ＝0时,即c ＝0,a ＝b 时,两焦点重合,椭圆方程变成x 2＋y 2＝a 2,成为一个圆．

(4)当e ＝1时,即a ＝c ,b ＝0时,椭圆压扁成一条线段．

(5)离心率e 刻画的是椭圆的扁平程度,与焦点所在轴无关．

3．直线与椭圆．

设直线方程y ＝kx ＋m ,若直线与椭圆方程联立,消去y 得关于x 的一元二次方程：ax 2＋bx ＋c

＝0(a ≠0)．

(1)Δ＞0,直线与椭圆有两个公共点；

(2)Δ＝0,直线与椭圆有一个公共点；

(3)Δ＜0,直线与椭圆无公共点．,?自测自评

1．椭圆x 26

＋y 2＝1的长轴端点的坐标为(D ) A ．(－1,0),(1,0)

B ．(－6,0),(6,0)

C ．(0,－6),(0,6)

D ．(－6,0)(6,0)

2．离心率为

32,焦点在x 轴上,且过点(2,0)的椭圆标准方程为(A ) A.x 24

＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24

＝1 C ．x 2＋4y 2＝1

D.x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216

＝1 3．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为22

． 解析：∵x 216＋y 28

＝1中,a 2＝16,b 2＝8, ∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e ＝c a ＝224＝22

.

1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长,短轴长,离心率依次是(B ) A ．5,3,45 B ．10,6,45

C ．5,3,35

D ．10,6,35

2．已知椭圆的焦点在x 轴上,离心率为12

,且长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径,则椭圆的标准方程是(A )

A.x 24＋y 23＝1

B.x 216＋y 212

＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 2

4＝1 解析：圆：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径r ＝4?a ＝2,又因为e ＝c a ＝12

,c ＝1,所以a 2＝4,b 2＝3,故选A.

3．在一椭圆中以焦点F 1,F 2为直径两端点的圆,恰好过短轴的两顶点,则此椭圆的离心率e 等于________．

解析：由题可知b＝c,∴a2＝b2＋c2＝2c2,a＝2c.

∴e＝c

a

＝

2

2

.

答案：

2 2

4．设椭圆C：x2

a2

＋

y2

b2

＝1(a＞b＞c)过点(0,4),离心率为

3

5

.

(1)求C得方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为4

5

的直线被C所截线段的中点坐标．

解析：(1)将(0,4)代入C的方程得16

b2

＝1,∴b＝4.

又e＝c

a

＝

3

5

,得

a2－b2

a2

＝

9

25

,即1－

16

a2

＝

9

25

,

∴a＝5,

∴C的方程为x2

25

＋

y2

16

＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为4

5

的直线方程为y＝

4

5

(x－3)．

设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y＝4

5

(x－3)代入C的方程,得

x2

25

＋

（x－3）2

25＝1,即x2－3x－8＝0,解得x1＝

3－41

2

,x2＝

3＋41

2

,∴AB的中点坐标x0＝

x1＋x2

2

＝

3

2

,y0

＝y1＋y2

2

＝

2

5

(x1＋x2－6)＝－

6

5

,即中点坐标为????

3

2

，－

6

5

.

5．如图所示F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵

坐标等于短半轴长的2

3

,求椭圆的离心率．

解析：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a,b,c.则焦点为F1(－c,0),F2(c,0),M点

的坐标为(c,2

3

b),则△MF1F2为直角三角形．

∴|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2,

即4c2＋4

9

b2＝|MF1|2.

而|MF1|＋|MF2|＝4c2＋4

9b2＋

2

3

b＝2a,

整理得3c3＝3a2－2ab.

又c2＝a2－b2,所以3b＝2a,所以b2

a2

＝

4

9

.∴e2＝

c2

a2

＝

a2－b2

a2

＝1－

b2

a2

＝

5

9

,∴e＝

5

3

.

1．椭圆

x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2

25－k

＝1(0＜k ＜9)的关系为(D ) A ．有相等的长轴 B ．有相等的短轴

C ．有相同的焦点

D ．有相等的焦距

2．(2013·广东四校联考)已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0),则此椭圆的离心率为(B ) A.13 B.33

C.22

D.12 3．若椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13

,则m 的值为(B ) A.1289 B.1289

或18 C ．18 D.1283

或6 4．已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,且长轴长为12,离心率为13

,则椭圆的方程是(D )

A.x 2144＋y 2128＝1

B.x 236＋y 220

＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 2

32＝1 5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2

b

2＝k (k ＞0)具有(A ) A ．相同的离心率 B ．相同的焦点

C ．相同的顶点

D ．相同的长、短轴

解析：将x 2a 2＋y 2b 2＝k (k ＞0)化为x 2a 2k ＋y 2b 2k

＝1. 则c 2＝(a 2－b 2)k ,∴e 2＝（a 2－b 2）k a 2k ＝c 2a

2. 6．已知点P 是以F 1,F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b

2＝1(a ＞b ＞0)上一点,且PF 1→·PF 2→＝0,tan ∠PF 1F 2＝12

,则该椭圆的离心率等于(D ) A.13 B.12 C.23 D.53

7．已知椭圆上一点P 到两个焦点的距离的和为4,其中一个焦点的坐标为(3,0),则椭圆的离心率为________． 答案：32

8．椭圆的短轴长等于2,长轴端点与短轴端点间的距离等于5,则此椭圆的标准方程是________________________________________________________________________．

答案：x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2

＝1. 9．过椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ,F 2为右焦点,若∠F 1PF 2＝60°,则椭圆的离心率为________．

解析：若点P 在第二象限,则由题意可得P ?

???－c ，b 2a ,又∠F 1PF 2＝60°,所以2c b 2a ＝tan 60°＝

3,化简得3c 2＋2ac －3a 2＝0,即3e 2＋2e －3＝0,e ∈(0,1),解得e ＝

33,故填33

. 答案：33 10．已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率e ＝23

,短轴长为85,求椭圆的方程． 解析：∵2b ＝85,∴b ＝4 5. 又c a ＝23

,由a 2－c 2＝b 2, 得a 2＝144,b 2＝80.

∴x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 2

80＝1. 11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12

,且椭圆经过点N (2,－3)． (1)求椭圆C 的方程；

(2)求椭圆以M (－1,2)为中点的弦所在直线的方程．

解析：(1)由椭圆经过点N (2,－3),

得22a 2＋（－3）2b 2＝1

又e ＝c a ＝12

,解得a 2＝16,b 2＝12. ∴椭圆C 的方程为x 216＋y 2

12＝1. (2)显然M 在椭圆内,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是以M 为中点的弦的两个端点, 则x 2116＋y 2112＝ …… 此处隐藏：4671字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……