解三角形经典例题

解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理

【典型题剖析】

考察点1：利用正弦定理解三角形 例1

在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.

【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。

A:B:C 1:2:3,而A B C . A

6

,B

3

,C

2

,

632解：

【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。

a:b: sinA:sinB:sinC sin

:sin

:sin

1 1:2.2

例2在ABC中，已知

C=30°，求a+b的取值范围。

【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。

abc

sinAsinBsinCsin30 解：∵C=30°，

∴

（150°-A）.

∴

°

·2sin75°·cos(75°

-A)=

cos(75°-A)

2

① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b

取得最大值 ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A＜150°，∴0°＜A＜150°, ∴-75°＜75°-A＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，

2

∴＞

cos75°

=2

×

2

综合①②可得a+b的取值范围为

考察点2：利用正弦定理判断三角形形状

例3

在△ABC中，a·tanB=b·tanA，判断三角形ABC的形状。

【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。 解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：

2

2

2RsinA

2

sinBsinA2

2RsinB cosBcosA,

sinAcosA sinBcosB,

即sin2A sin2B， 2A 2B或2A 2B ，

A B或A B

2.

∴ABC为等腰三角形或直角三角形。

【解题策略】“在△ABC中，由sin2A sin2B得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或∠

A+∠B=2”的导出过程。

例4

在△ABC

中，如果lga lgc lgsinB ，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。

lgsinB sinB

解：

又∵B为锐角，∴B=45°.

.

lga lgc 得

由

c a2

sinA

2, 由正弦定理，得sinC

∵A 180 45 C,代入上式得：

C 2sin 135 C

2 sin135 cosC cos135

sinC CC,

cosC 0, C 90 , A 45 . ABC为等腰直角三角形。

考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式

例5

a2 b2b2 c2c2 a2

0

cosA cosBcosB cosCcosC cosA在△ABC中，求证.

222222

sinA,sinB,sinC. a，b，c【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将转化为

证明：由正弦定理的变式a 2RsinA,b 2RsinB得：

a2 b24R2sin2A 4R2sin2B

=

cosA cosBcosA cosB 4R2（[1-cos2A）-(1-cos2B)]

cosA cosB

(cos2B cos2A)

4R2(cosB cosA)

cosA cosB

b2 c2

4R2(cosC cosB),

cosB cosCc2 a2

4R2(cosA cosC).

同理cosC cosA

左边=4R2(cosB cosA cosC cosB cosA cosC) 0 右边 等式成立。

【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。 例6

22

在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证c b ab.

【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用. 证明：

A B C 180 , B C 180 A.

又C 2B, C B B.

sin(B C) sin(180 A) sinA,

c2 b2 4R2(sin2C sin2B)

4R2(sinC sinB)(sinC sinB)

B CC BB CC B

4R2 2sin cos 2cos sin

2222

4R2sin(C B)sin(C B) 4R2sinAsinB ab 右边. 等式成立.

【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。

（1） A B C ,A B C,2B 2 2C.

A B C

,2A 222

(2)sin(A B) sinC,cos(A B) cosC,tan(A B) tanC.

(3)sincotC

.2

A BCA BCA B

cos,cos sin,tan 22222

(4)sin(2A 2B) sin2C,cos(2A 2B) cos2C,tan(2A 2B) tan2C.

考察点4：求三角形的面积 例7

a 2,C

在△ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C

的对边，若【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA 及边c，再求面积。

4

,cos

B 2,求△ABC的面积S.

cos

解：由题意

B3BcosB 2cos2 1 ,

25 25，得

43 sinB ,sinA sin( B C) sin( B) 5410 ∴B

为锐角，

c

由正弦定理得

10,7

S

111048acsinB 2 .22757

【解题策略】在△ABC中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用，

A B C ,sin(A B) sinC,cos(A B ) cos

例8

A BcosC;

2

CA BC

,cos sin.222

C

3, 求△ABC的面积S的最大

已知△ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，△ABC的外接圆半径为12，且值。

【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。

S

解：

ABC

11

absinC

2RsinA2RsinBsinC22

2sinAsinB

2

R[cos(A B) cos(A

B)]2

21

R[cos(A B) ].2

当cos(A B) 1,即A B时，

(S

ABC)max

2R 144

【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。

考察点5：与正弦定理有关的综合问题 例9

已知△ABC的内角A,B极其对边a,b满足a b acotA bcotB,求内角C

【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转化能力。 解法1：

a b acotA bcotB,且

ab

2RsinAsinB（R为△ABC的外接圆半径），

sinA cosA cosB sinB, 1 sin2A 1 cos2B.

cos2A cos2B 0

又sin2A sin2B 2cos(A B)sin(A B). cos(A B)sin(A B) 0, cos(A B) 0或sin(A B) 0.

A B

又∵A,B为三角形的内角，

2

或A B,

当A B

2

时，C

；2

cotA 1, A B

4

当A B时，由已知得

, C

.2

C

综上可知，内角解法2：

2.

由a b acotA bcotB及正弦定理得，

sinA sinB=cosA cosB， sinA cosA cosB sinB，

sinAcos

从而

4

cosAsin

4

cosBsin

4

sinBcos

…… 此处隐藏：8442字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……