高中数学第二章解三角形章末复习提升课巩固提升训练北师大版必修

1 第二章 解三角形

1．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，B ＝45°，则A 等于( )

A ．30°

B ．60°

C ．60°或120°

D ．30°或150°

解析：选C.由正弦定理得：sin A ＝a sin B b ＝32

， 因为a >b ，所以A ＝60°或A ＝120°，故选C.

2．在△ABC 中，若lg sin A －lg sin C ＝lg sin B ＝－lg 2，且B ∈?

????0，π2，则△ABC 的形状是( )

A ．等边三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．直角三角形

解析：选C.由lg sin A －lg sin C ＝lg sin B ＝－lg 2可得lg sin A sin C ＝lg sin B ＝lg 22

，所以a c ＝22＝sin B ，又B ∈?

????0，π2，所以B ＝π4，c ＝2a .由余弦定理可知b 2＝a 2＋2a 2－2a ×2a ×

22，整理可得b ＝a ，因此△ABC 为等腰直角三角形． 3．为维护国家主权和领土完整，我海监船310号奉命赶赴钓鱼岛海域执法巡航．当我船航行到A 处时测得钓鱼岛在我船北偏东45°方向上，我船沿正东方向继续航行20海里到达B 处后，又测得钓鱼岛在我船北偏东15°方向上，则此时B 处到钓鱼岛的距离为( )

A ．20海里

B ．10海里

C ．20 2 海里

D ．20 3 海里

解析：选C.设钓鱼岛在C 处，则在△ABC 中，AB ＝20，∠BAC ＝45°，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝30°，由正弦定理得：BC ＝AB sin ∠CAB sin ∠ACB ＝20sin 45°sin 30°

＝202，故选C. 4．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C

＝________． 解析：由正弦定理得sin A sin C ＝a c

， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc

，

1 因为 a ＝4，b ＝5，c ＝6，所以 sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×46×52＋62－42

2×5×6

＝1.

答案：1

5.如图，l 1，l 2，l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是

1，l 2与l 3间的距离是3，正三角形ABC 的三个顶点分别在l 1，l 2，l 3

上，则正三角形的边长是________．

解析：如图，过点C 作l 1的垂线，交直线l 1于点H ，交直线l 2于点M .

设∠ACH ＝θ，则∠BCH ＝60°－θ.

在Rt △ACH 中，CH ＝4， 故AC ＝CH cos ∠ACH ＝4cos θ

； 在Rt △BCM 中，CM ＝3，

故BC ＝CM cos ∠BCM ＝3cos （60°－θ）

. 所以4cos θ＝3cos （60°－θ）

， 解得sin θ＝123

cos θ. 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，代入求得cos θ＝

1213

， 故AC ＝412

13＝2393. 答案：2393

6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°.

(1)求a ＋b sin A ＋sin B

的值； (2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积S △ABC .

解：(1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin 60°＝23

2

＝433，所以a ＝433sin A ，b ＝433

sin B ，